FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

Le funzioni goniometriche inverse permettono di determinare l’angolo che ha un dato valore per una certa funzione goniometrica.

Dato un numero x compreso tra −1 ed 1, sembrerebbe naturale definire l’arcoseno di x come “l’angolo il cui seno è x”; si capisce però che tale definizione è ambigua, in quanto, come abbiamo già osservato, esistono infiniti angoli aventi come seno il numero dato. Occorre perciò dare una
definizione univoca di arcoseno, da utilizzare poi per esprimere tutte le infinite soluzioni di un’equazione goniometrica.
In un certo senso, la situazione è simile a quella della definizione di radice quadrata (o di altra radice ad indice pari) di un numero positivo. Stabilito che in ogni caso nel campo reale non ha senso la radice quadrata di un numero negativo, e che l’unico numero che al quadrato dà 0 è 0, rimane il fatto che per un numero positivo x non è corretto dire che la radice quadrata è “il numero il cui quadrato è x”, perché esistono sempre due numeri reali distinti (uno opposto dell’altro) il cui quadrato è x. Allora, per convenzione si usa indicare con √x il solo numero positivo il cui quadrato è x: ad esempio, con il simbolo √49 si indica soltanto 7 (e non ±7, perché una funzione deve fornire un solo valore). Questo non contraddice il fatto che le soluzioni dell’equazione x² = 49 siano +7 e −7 (e quindi scriviamo brevemente x_1,2 = ±7): infatti un’equazione può avere più soluzioni (anche infinite), mentre una funzione deve far corrispondere ad x un solo valore f(x).
Dunque, per definire in modo corretto la funzione arcoseno,per esempio, occorre per prima cosa fissare un intervallo nel quale la funzione seno assuma una ed una sola volta i valori compresi tra −1 ed 1. Ciò si può fare in infiniti modi, ma è uso comune scegliere l’intervallo  –90° e 90°.

Per poter individuare il valore assunto dalla funzione inversa è necessario che l’angolo sia compreso entro un certo intervallo.

Arcoseno

Arcoseno è l’angolo che presenta un determinato valore di seno.
Scrivendo y = arcsen x, intendiamo che y è l’angolo il cui seno è x, e quindi che x = sen y.
Tra le due funzioni y = arcsen x e x = sen y c’è un rapporto biunivoco solo se l’angolo y è compreso tra –90° e 90° (–90°≤y≤ 90°).
Esempio:

arcsen 1 = 90° in quanto sen 90° = 1.

Arcocoseno

Arcocoseno è l’angolo che presenta un determinato valore di coseno.
La funzione y = arccos x è in rapporto biunivoco con x = cos y solo se 0°≤ y ≤180°.

Esempio:

arccos 1 = 0° in quanto cos 0° = 1.

Arcotangente

Arcotangente è l’angolo che presenta un determinato valore di tangente.
La funzione y = arctg x è in rapporto biunivoco con x = tg y solo se –90°≤ y≤ 90°.
Esempio:

arctg 1 = 45° in quanto tg 45° = 1.

Arcocotangente

Arcocotangente è l’angolo che presenta un determinato valore di cotangente.
La funzione y = arccotg x è in rapporto biunivoco con x = cotg y solo se 0°≤ y≤ 180°.
Esempio:

arccotg 0 = 90° in quanto cotg 90° = 0

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