La funzione arcocotangente

DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE ARCOCOTANGENTE

Dato un qualunque numero reale x, si dice arcocotangente del numero x (e si indica con arccotg x oppure arcctg x), l’unico angolo α appartenente a (0 ; π) tale che cotg α è uguale ad x.
Vale per l’arcocotangente un’interpretazione geometrica analogo a quella vista per l’arcotangente.

Per x > 0 l’arcocotangente giace nel primo quadrante, mentre per x < 0 giace nel secondo.

Si osservi che, al pari della funzione arcocoseno, la funzione arcocotangente è decrescente in tutto il suo dominio, e inoltre che essa non è né pari né dispari, per cui un’espressione come arccotg(−4) non può essere resa più semplice.

La figura che segue mostra il grafico della funzione arcocotangente:

Come si vede, anche qui sono presenti due asintoti orizzontali, di equazioni y = 0 e y = π.

Comunque, non è il caso di insistere troppo sull’arcocotangente, perché di solito nelle applicazioni è più comodo ricondursi sempre alla tangente (anche perché le comuni calcolatrici scientifiche forniscono valori approssimati dell’arcotangente ma non dell’arcocotangente).

A tale proposito, essendo

si potrebbe pensare di ricavare arccotg x calcolando l’arcotangente di 1/x.

In realtà la relazione

arccotg x = arctg 1/x

non è sempre
vera; precisamente, si può dire che questa formula vale per x > 0;

invece, per x < 0 dobbiamo tenere presente che arccotg x e arctg 1/x giacciono nel quarto quadrante, mentre arccotg x giace nel secondo.

In effetti, ricordando le proprietà delle funzioni tangente e cotangente, non è difficile accorgersi che in questo caso i due angoli arccotg x e arctg 1/x differiscono di un angolo piatto, per cui possiamo scrivere:

Esempio

Se l’argomento è 5 /4, possiamo scrivere:

mentre se l’argomento è −√2/ 5, abbiamo:

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