Geometria analitica: Esercizio svolto sulla parabola e rotazione degli assi

ESERCIZIO 1:

Determinare l’equazione della parabola  passante per il punto A(1, 3), con il fuoco nell’origine degli assi e asse di simmetria  sulla bisettrice del I° e III° quadrante .

SOLUZIONE

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria la bisettrice del I° e III° quadrante (  y = x ), l’equazione della parabola è del tipo:

 X = aY² +bY + c

essendoci stata una rotazione  di un angolo pari a Θ = -π/4 degli assi cartesiani ortogonali intorno all’origine .

Ricordando quindi le:

formule di rotazione per un sistema di assi:

La distanza del punto A (3, 1) dalla direttrice è per definizione la distanza del fuoco dal punto (3, 1) stesso .

Quindi dalla formula della distanza di un punto da una retta:

Quindi risulta evidente come esistano due direttrici e di conseguenza due parabole soddisfacenti le condizioni date .

Il primo punto di intersezione della direttrice con la bisettrice è data da:

Il secondo punto di intersezione della direttrice con la bisettrice è data da:

E dunque le coordinate del vertice sono date dalle coordinate del punto medio tra il fuoco e il punto di intersezione tra la direttrice e la bisettrice
y = x.

Nel sistema OXY le coordinate di V sono :

ricordando le coordinate del fuoco e del vertice:

si ha:

Per l’equazione della parabola rispetto al sistema 0xy :

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