Disequazioni trigonometriche: esercizi svolti

Disequazioni trigonometriche: esercizi svolti

Esercizio 1 :

Risolvere la disequazione:

sen 4x > cos 2x

Soluzione :

Il primo angolo e’ 4x, il secondo e’ 2x; riduciamo tutto a 2x (formule di duplicazione):
2 sen 2x cos 2x > cos 2x
Portiamo tutto prima dell’uguale:
2 sen 2x cos 2x – cos 2x > 0
Raccogliamo cos 2x a fattor comune:
cos 2x (2 sen 2x – 1) > 0
E’ un prodotto: sara’ maggiore di zero quando i fattori avranno segno concorde (cioe’ quando entrambe i fattori sono positivi oppure sono entrambe negativi).
Pongo in un sistema entrambe i fattori maggiori di zero e trovo gli intervalli dove i segni sono concordi

Risolvo la prima:
cos 2x > 0
So che il coseno e’ positivo tra 0° e 90° ed anche tra 270° e 360°, quindi:
0° < 2x < 90° U 270° < 2x < 360°
Con U indico l’unione degli intervalli; pero’ io cerco l’angolo x e quindi dividiamo per 2:
0° < x < 45° U 135° < x < 180°
Inoltre, siccome dividendo per 2 ottengo che ho la periodicita’ di 180°, dovro’ anche considerare:
180° < x < 225° U 315° < x < 360°
Mettendo assieme:
0° < x < 45° U 135° < x < 225° U 315° < x < 360°

Sotto  la rappresentazione grafica:

Risolvo la seconda:
2 sen 2x – 1 > 0
Ricavo sen 2x:
2 sen 2x > 1
sen 2x > 1/2
So che il seno e’ superiore ad 1/2 per gli angoli tra 30° e 150° quindi posso scrivere:
30° < 2x <+ 150 , pero’ io cerco l’angolo x e quindi dividiamo per 2:
15° < x < 75°
Inoltre, siccome dividendo per 2 ottengo che ho la periodicita’ di 180°, dovro’ anche considerare:
195° < x < 255°
Mettendo assieme:
15° < x < 75° U 195° < x < 255°

Ora cerco le soluzioni concordi della prima e della seconda disequazione; riporto all’interno i due grafici trovati.
Indico in blu a linea continua dove sono concordi, in blu a linea tratteggiata dove sono discordi.
Raccogliendo ho quindi le soluzioni:
15°<x <45° U 75°<x <135° U 195°<x<225° U 255°<x<315°

Esercizio 2 :

Risolvere la disequazione:
sen x – cos x < 0

Soluzione :

Si potrebbe risolvere in modo semplice disegnando i grafici delle due funzioni y=senx ed y=cosx e considerare i punti dove il grafico della prima e’ inferiore al grafico della seconda, ma vediamo come risolverlo in modo “algebrico”.

Stavolta l’equazione associata e’ di tipo gia’ visto: per risolverla come equazione basterebbe dividere tutti i termini per cos x.
Essendo una disequazione non posso dividere immediatamente per cos x perche’ non ne conosco il segno (ti ricordo che moltiplicando una disequazione per un termine negativo il verso cambia).
Allora per risolvere la disequazione distinguiamo due casi:
1) cos x > 0 in questo caso, dividendo per cos x, il verso della disequazione resta lo stesso.
2) cos x < 0 in questo caso, dividendo per cos x, cambieremo il verso alla disequazione.
Primo caso:

Siccome senx/cosx = tangx

Attenzione! Stavolta e’ un sistema e dobbiamo cercare solo le soluzioni valide e anche se cercando i segni discordi otterremmo lo stesso risultato (di entrambe i casi) e’ concettualmente sbagliato il considerarlo

cos x > 0
So che il coseno e’ positivo tra 0° e 90° ed anche tra 270º e 360°, quindi:
0° < x < 90° U 270° < x < 360°

Con U indico l’unione degli intervalli,il punto 0° = 360° e’ escluso.

tang x – 1 < 0
tang x < 1
So che la tangente e’ minore di 1 se l’ angolo e’ compreso fra 0° 45° ed anche tra 90° e 180°; inoltre, essendo la tangente periodica di 180° fra 180° e 225° e tra 270° e 360°. quindi posso scrivere:
0° < x < 45° U 90° < x < 225° U 270° < x < 360°

Mettiamo assieme le soluzioni e risolviamo il sistema

 

Soluzione prima parte:
0° < x < 45° U 270° < x < 360°

Secondo caso:

Siccome senx/cosx = tangx:

Anche qui e’ un sistema e dobbiamo cercare solo le soluzioni valide e, anche se cercando i segni discordi, otterremmo lo stesso risultato (di entrambe i casi); e’ sbagliato il considerarlo:

cos x < 0
So che il coseno e’ negativo tra 90°; e 270° quindi:
90° < x < 270°

tang x – 1 > 0
tang x > 1
So che la tangente e’ maggiore di 1 se l’ angolo e’ compreso fra 45° e 90° e inoltre (essendo la tangente periodica di 180° fra 225° e 270°;quindi posso scrivere:
45° < x < 90° U 225° < x < 270°

Mettiamo assieme le soluzioni e risolviamo il sistema:

Soluzione seconda parte:
225° < x < 270°
Siccome dividiamo per cosx dobbiamo considerare a parte il caso di cos x = 0
sen x – cos x < 0
diventa:
sen x < 0 con x=90° e x = 270°

Per x=90° il seno e’ positivo quindi la disequazione non e’ verificata
Per x=270° il seno e’ negativo quindi la disequazione e’ verificata.
x = 270°

Ora devo prendere sia le soluzioni del primo che del secondo sistema; quindi:
0° < x < 45° U 225° < x < 360°

Esercizio 3 :

Risolvere la disequazione:
2 cos²x + 3 senx – 3 > 0

Soluzione:
Poiche’ abbiamo cos²x cerchiamo di trasformare le funzioni in un unico tipo ricordando la prima relazione fondamentale (cos²x = 1 – sen²x):

2 (1 – sen²x) + 3 senx – 3 > 0
2 – 2sen²x + 3 senx – 3 > 0
– 2sen²x + 3 senx – 1 > 0

Cambio di segno e di verso:
2sen²x – 3 senx + 1 < 0
Considero l’equazione associata:
2sen²x – 3 senx + 1 = 0
E’ un’equazione di secondo grado in senx; la risolvo:

Ottengo due soluzioni:
sen x = 1  sen x = 1/2
Quindi la mia disequazione diventa decomposizione del trinomio:
2(sen x – 1)(sen x – 1/2) < 0
Siccome 2 e’ una costante positiva, posso trascurarla:
(sen x – 1)(sen x – 1/2) < 0
E’ un prodotto: sara’ minore di zero quando i fattori avranno segno discorde (cioe’ quando il primo fattore sara’ positivo ed il secondo negativo o viceversa ).
Pongo in un sistema entrambe i fattori maggiori di zero e trovo gli intervalli dove i segni sono discordi,

 Risolvo la prima:
sen x > 1
So che il seno e’ sempre compreso fra -1 ed 1, quindi la disequazione non e’ mai verificata.

Risolvo la seconda:
sen x > 1/2
So che il seno e’ superiore ad 1/2 per gli angoli tra 30° e 150°, quindiposso scrivere:
30° < x < 150°

Ora cerco le soluzioni discordi della prima e della seconda disequazione; riporto all’interno i due grafici trovati.
Indico in blu a linea continua dove sono concordi, in blu a linea tratteggiata dove sono discordi.
Raccogliendo ho quindi le soluzioni:
30°<x <150°
Non basta: devo controllare se ci sono soluzioni da escludere nell’intervallo; se sostituisco nell’equazione iniziale ad x il valore 90° ottengo:
2 cos²x + 3 senx – 3 > 0
2 cos²90° + 3 sen90° – 3 > 0
0 + 3 – 3 > 0
Quindi devo escludere il valore x = 90°
Quindi il risultato finale e’:
30°< x <150° e x ≠ 90°

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