Trigonometria: Risoluzione di problemi relativi ai triangoli

Notazione standard.

In un triangolo di solito:
• A, B e C sono i vertici, e α, β, γ sono i corrispondenti angoli;
• a, b, c sono le lunghezze dei lati opposti ad A, B, C, rispettivamente, p = (a + b + c)/2 è il semiperimetro, S è l’area;
• r ed R sono, rispettivamente, i raggi della circonferenza inscritta e circoscritta.

Formula di Erone per l’area.

Noti i tre lati, si pu`o ricavare l’area di un triangolo mediante la formula di Erone:

Formula trigonometrica per l’area.

Noti due lati e l’angolo compreso, si può ricavare l’area di un triangolo mediante le formule:

Teorema di Carnot.

Noti due lati e l’angolo compreso, si può ricavare il terzo lato mediante la formula:

Teorema dei seni.

In un triangolo, il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo oppostoè costante, ed uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta:

Risoluzione di un triangolo dati due lati e l’angolo compreso.

Si ricava la lunghezza del terzo lato mediante il teorema di Carnot, poi i seni degli altri angoli mediante il teorema dei seni.

Risoluzione di un triangolo dati un lato e i due angoli adiacenti.

Si ricava l’angolo rimanente sapendo che la somma degli angoli è di 180^◦ . Si calcolano poi gli altri lati mediante il teorema dei seni.

Risoluzione di un triangolo dati tre lati.

Si ricava l’area con la formula di Erone, poi i seni degli angoli mediante la formula trigonometrica per l’area. In alternativa, si calcolano direttamente i coseni degli angoli mediante il Teorema di Carnot.

ATTENZIONE!!

Noto il seno dell’angolo di un triangolo, non è così immediato ricavare la misura dell’angolo. Infatti ci sono sempre due angoli, uno acuto e uno ottuso, che hanno lo stesso seno (almeno se il seno è = 1). Per sapere di che tipo è l’angolo in A, basta fare un semplice controllo:

Con il coseno, al contrario, il problema non si pone: infatti tra 0 e π vi è un solo angolo con un dato coseno.

Per approfondire:

Trigonometria: i triangoli

Tutto su Goniometria e Trigonometria
[elementor-template id=”10591″]

(340)