Trigonometria: i triangoli

Cos’è la trigonometria

La trigonometria si occupa dei triangoli di cui si vogliono conoscere elementi (angoli o lati) incogniti partendo da tre o più elementi noti, tra cui almeno un lato.

Trigonometria: dal greco trìgonon, triangolo, e métron, misura.

A tale scopo sono indispensabili le relazioni che legano le misure dei lati con le funzioni trigonometriche degli angoli.

TRIANGOLI RETTANGOLI

Dalla definizione delle funzioni goniometriche si possono trarre relazioni utili alla risoluzione dei triangoli rettangoli.
In questo caso peraltro è sempre noto un elemento, cioè l’angolo retto, e quindi basteranno altri due elementi (due lati oppure un lato e un angolo).

All’interno di una circonferenza goniometrica il triangolo rettangolo ABC presenta le seguenti relazioni basate sulle definizioni di seno e coseno:

senα = a / c
cosα = b / c

da cui si ricavano:

Attraverso relazioni geometriche e goniometriche con altre funzioni si ricavano le seguenti formule risolutive per i triangoli rettangoli.

FORMULE RELATIVE AI TRIANGOLI RETTANGOLI

Esempio 1:
Determinare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo di cui è nota l’ipotenusa (25,32 m) e l’angolo α (35,4°).

Per trovare il lato a si applica la formula a = c . sen α, da cui si ricava

a = 25,32 m . sen 35,4° = 25,32 m . 0,579 = 14,66 m

Il lato b si ottiene con

b = 25,32 m . cos 35,4° = 25,32 m . 0,815 = 20,63 m

Esempio 2:
Determinare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo di cui è noto il cateto a (44,25 m) e l’angolo a esso opposto (α = 60,52°).
L’ipotenusa c si ottiene con la formula c = a / sen α, da cui si ricava

c = 44,25 m / sen 60,52° = 44,25 m / 0,870 = 50,86 m
Il cateto b si ottiene con

a = b . tg α, da cui b = a / tg α
e quindi
b = 44,25 m / tg 60,52° = 44,25 m / 1,768 = 25,01 m

Esempio 3:

Determinare la lunghezza della proiezione di un segmento AB su una retta che forma con esso un angolo di 30°.

A’B’ proiezione di AB sulla retta è uguale al segmento AC; pertanto

A’B’ = AC = AB . cos 30° = AB . 0,866

TRIANGOLI SCALENI

Per risolvere i problemi sui triangoli scaleni (cioè con angoli qualsiasi) è sufficiente disporre dei risultati dei due teoremi seguenti.

Teorema dei seni

In un triangolo i lati e i seni degli angoli opposti hanno un rapporto costante, equivalente al diametro della circonferenza circoscritta.

Queste relazioni equivalgono a:
a / b = sen α / sen β
b / c = sen β / sen γ
a / c = sen α / sen γ

Teorema di Carnot (o del coseno)

In un triangolo il quadrato di un lato equivale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

a² = b² + c² – 2 b *c * cos α
e analogamente
b² = a² + c² – 2 a* c * cos β              c² = a² + b² – 2 a* b* cos γ

È da notare che questo non è altro che il teorema di Pitagora generalizzato; infatti, nel caso di un triangolo rettangolo, si ha che α = 90° e quindi

a² = b² + c² – 2 b* c* cos 90°

e, poiché cos 90° = 0, otteniamo la formula ben nota

a² = b² + c²

Esempio 4:

Noti un lato e due angoli (a = 20 m; β = 30°; γ = 70°), determinare gli altri elementi del triangolo.

l valore di α si individua con
α + β + γ = 180°,

dove si inseriscono i valori noti e si ha
α = 180° – (30° + 70°) = 80°

Dal teorema dei seni

 

sappiamo che
b = a . sen β / sen α
e quindi
b = 20 m . sen 30° / sen 80° = 20 m . 0,5 / 0,984 = 10,16 m
Con lo stesso teorema dei seni si ricava il lato c:
c = 20 m . sen 70° / sen 80° = 20 m . 0,939 / 0,984 = 19,08 m.

Esempio 5:

Noti due lati e l’angolo fra essi compreso (a = 20 m; b = 50; γ = 40°), determinare gli altri elementi del triangolo.

Il lato c si trova con il teorema di Carnot e la sua formula
c² = a² + b² – 2 a * b * cos γ,
dove si inseriscono i valori noti e si ha

quindi cos α = 0,937
e α = arccos 0,937 = 20°
Infine si determina
β = 180° – 20° – 40° = 120°

Esempio 6:

Noti due lati e un angolo opposto a uno di essi (b = 17 m; c = 24; γ = 45°), determinare gli altri elementi di un triangolo.

Dal teorema dei seni si ha
sen β = sen γ* b/c
Sostituendo i valori noti si ha

sen β =   sen 45° * 17 m / 24 m = 0,5

e quindi
β = arcsen 0,5 = 30°

È da notare che gli angoli il cui seno è 0,5 sono due (30° e 150°), ma solo il primo valore è accettabile; infatti, se fosse β = 150°,
la somma β + γ = 195° > 180° (valore inaccettabile per un triangolo).

L’angolo α si ricava da

α = 180° – β – γ = 105°.
Infine il lato a si ottiene ancora con il teorema dei seni, ovvero, con la formula

a = b * sen α / sen β,
si ottiene
a = 17 m * sen 105° / sen 30° = 17 m * 0,966 / 0,5 = 32,84 m.

Esempio 7:

Noti i tre lati lati (a = 30 m; b= 40; c = 50), determinare gli altri elementi del triangolo.

Con il teorema di Carnot si ha:

da cui
α = arccos 0,8 = 36,9°
β = arccos 0,6 = 53,1°
γ = arccos 0 = 90°.

Area del triangolo

Dalla formula geometrica S = b . h / 2, espressa mediante le funzioni goniometriche, si hanno le seguenti formule basate su diversi elementi noti.

FORMULE RELATIVE ALL’AREA DEL TRIANGOLO

Formula di Erone

Per il calcolo dell’area di un triangolo è anche nota dalla geometria la formula di Erone, che esprime l’area conoscendo i tre lati (a,b,c) e quindi anche il semiperimetro p, cioè

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