Goniometria per Esperti: Metti alla Prova le Tue Conoscenze

Esercizio 1: Identità goniometrica complessa

Dimostrare la seguente identità:

(sin(4x) + sin(6x)) / (cos(4x) – cos(6x)) = -cot(x)

Soluzione:

1. Applichiamo le formule di prostaferesi (somma e differenza di seni e coseni):

   • sin(p) + sin(q) = 2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
   • cos(p) – cos(q) = -2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)

2. Sostituiamo nella nostra espressione con p = 6x e q = 4x:

   [2sin((6x+4x)/2)cos((6x-4x)/2)] / [-2sin((6x+4x)/2)sin((6x-4x)/2)]

3. Semplifichiamo:

   [2sin(5x)cos(x)] / [-2sin(5x)sin(x)]

4. Semplifichiamo ulteriormente, notando che 2sin(5x) si semplifica al numeratore e al denominatore:

   cos(x) / -sin(x)

5. Ricordiamo che cot(x) = cos(x) / sin(x). Pertanto:

   -cot(x)

Quindi, l’identità è dimostrata.

Esercizio 2: Equazione goniometrica con parametriche

Risolvere l’equazione:

sin(x) + cos(x) = k

dove k è un parametro reale. Discutere le soluzioni al variare di k.

Soluzione:

• Dividiamo entrambi i membri per √2:

  (1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x) = k/√2

• Riconosciamo che 1/√2 = cos(π/4) = sin(π/4):

  cos(π/4)sin(x) + sin(π/4)cos(x) = k/√2

• Applichiamo la formula di addizione del seno: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b):

  sin(x + π/4) = k/√2

• Ora discutiamo le soluzioni al variare di k:

  • Se |k/√2| > 1 (cioè |k| > √2), l‘equazione non ha soluzioni reali, poiché il seno di un angolo è sempre compreso tra -1 e 1.

  • Se |k/√2| ≤ 1 (cioè |k| ≤ √2), l’equazione ha soluzioni. In questo caso:

    x + π/4 = arcsin(k/√2) + 2πn oppure x + π/4 = π – arcsin(k/√2) + 2πn

    dove n è un intero relativo.

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Spiegazione dettagliata di questo passaggio:

Dopo aver trasformato l’equazione originale in sin(x + π/4) = k/√2, ci troviamo di fronte a un’equazione del tipo sin(angolo) = valore. Sappiamo che il seno di qualsiasi angolo θ è sempre compreso tra -1 e 1, inclusi:

-1 ≤ sin(θ) ≤ 1

Nel nostro caso, l’angolo è (x + π/4) e il valore è k/√2. Quindi, affinché l’equazione sin(x + π/4) = k/√2 abbia soluzioni reali per x, è necessario che il valore k/√2 sia anch’esso compreso tra -1 e 1:

-1 ≤ k/√2 ≤ 1

Per esprimere questa condizione in termini di valore assoluto, moltiplichiamo tutti i membri della disequazione per √2:

-√2 ≤ k ≤ √2

Questa doppia disequazione è equivalente a dire che il valore assoluto di k deve essere minore o uguale a √2:

|k| ≤ √2

Dividendo entrambi i membri per √2, otteniamo la condizione che abbiamo usato nella soluzione:

|k/√2| ≤ 1

Cosa significa in pratica:

• Se |k/√2| > 1 (cioè |k| > √2): Questo significa che il valore k/√2 è al di fuori dell’intervallo [-1, 1]. Poiché il seno di qualsiasi angolo non può mai essere maggiore di 1 o minore di -1, non esistono valori di x che possano soddisfare l’equazione sin(x + π/4) = k/√2. In questo caso, l’equazione originale sin(x) + cos(x) = k non ha soluzioni reali.

• Se |k/√2| ≤ 1 (cioè |k| ≤ √2): Questo significa che il valore k/√2 è all’interno dell’intervallo [-1, 1]. In questo caso, esistono uno o più angoli (x + π/4) il cui seno è uguale a k/√2. Di conseguenza, esistono soluzioni reali per x.

Esempio:

Se k = 3, allora |k/√2| = |3/√2| ≈ 2.12 > 1. L’equazione sin(x) + cos(x) = 3 non ha soluzioni reali.

Se k = 1, allora |k/√2| = |1/√2| ≈ 0.71 ≤ 1. L’equazione sin(x) + cos(x) = 1 ha soluzioni reali.

In sintesi, il valore assoluto |k/√2| funge da “test” per verificare la compatibilità dell’equazione con il range della funzione seno. Ci dice se il valore che cerchiamo di ottenere con il seno è raggiungibile o meno.

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• Infine, ricaviamo x:

  x = arcsin(k/√2) – π/4 + 2πn oppure x = 3π/4 – arcsin(k/√2) + 2πn

Esercizio 3: Problema geometrico con goniometria

In un triangolo ABC, l’angolo  misura α, l’angolo Ĉ misura γ e il lato AB misura c. Trovare l’area del triangolo.

Soluzione:

• Usiamo il teorema dei seni per trovare il lato BC (che chiameremo a):

a / sin(α) = c / sin(γ) => a = c * sin(α) / sin(γ)

• L’area di un triangolo può essere calcolata come (1/2) * lato1 * lato2 * sin(angolo tra essi). In questo caso, possiamo usare i lati AC e BC e l’angolo tra essi, che è l’angolo Ĉ (γ).

• Per trovare AC (che chiameremo b), usiamo di nuovo il teorema dei seni:

  b / sin(β) = c / sin(γ)

  dove β è l’angolo in B. Sappiamo che α + β + γ = π (180°), quindi β = π – α – γ.

  b = c * sin(π – α – γ) / sin(γ) = c * sin(α + γ) / sin(γ)

• Ora possiamo calcolare l’area:

  Area = (1/2) * a * b * sin(γ) = (1/2) * [c * sin(α) / sin(γ)] * [c * sin(α + γ) / sin(γ)] * sin(γ)

• Semplificando:

  Area = (c² * sin(α) * sin(α + γ)) / (2sin(γ))

Esercizio sul Teorema di Carnot

In un quadrilatero ABCD, si conoscono le seguenti misure:

• AB = 5
• BC = 6
• CD = 4
• DA = √37
• L’angolo ABC = 60°

Calcola la lunghezza della diagonale AC e l’area del quadrilatero.

Soluzione:

1. Calcolo di AC (utilizzando il teorema di Carnot sul triangolo ABC):

Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo ABC:

AC² = AB² + BC² – 2 * AB * BC * cos(ABC) AC²

= 5² + 6² – 2 * 5 * 6 * cos(60°) AC²

= 25 + 36 – 60 * (1/2) (poiché cos(60°)

= 1/2) AC² = 61 – 30 AC²

= 31 AC = √31

2. Calcolo dell’angolo ADC (utilizzando il teorema di Carnot sul triangolo ADC):

Consideriamo ora il triangolo ADC. Conosciamo i lati AD = √37, CD = 4 e AC = √31. Applichiamo il teorema di Carnot per trovare l’angolo ADC (che chiameremo θ):

AC² = AD² + CD² – 2 * AD * CD * cos(θ) 31 = (√37)² + 4² – 2 * √37 * 4 * cos(θ) 31

= 37 + 16 – 8√37 * cos(θ) 31 = 53 – 8√37 * cos(θ) -22

= -8√37 * cos(θ) cos(θ) = 22 / (8√37) = 11 / (4√37) cos(θ) ≈ 0.452 θ = arccos(11 / (4√37)) θ ≈ 63.1°

3. Calcolo dell’area del quadrilatero:

Calcoliamo le aree dei due triangoli:

• Area(ABC) = (1/2) * AB * BC * sin(ABC) = (1/2) * 5 * 6 * sin(60°) = 15 * (√3/2) = (15√3)/2 ≈ 12.99
• Area(ADC) = (1/2) * AD * CD * sin(ADC) = (1/2) * √37 * 4 * sin(63.1°) ≈ (1/2) * 6.08 * 4 * 0.892 ≈ 10.86

Quindi, l’area del quadrilatero ABCD è:

Area(ABCD) = Area(ABC) + Area(ADC) ≈ 12.99 + 10.86 ≈ 23.85

Conclusione:

Abbiamo ottenuto:

• AC = √31 ≈ 5.57
• Angolo ADC ≈ 63.1°
• Area(ABCD) ≈ 23.85

 

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