Se provi a immaginare una tempesta che stravolge tutto ciò che incontra, noterai che, nel caos, c’è sempre qualcosa che resta immobile o che si muove lungo una linea precisa. In matematica succede lo stesso.
Quando una matrice “scuote” lo spazio, deformando vettori e coordinate, quasi tutto cambia direzione. Eppure, esistono delle linee di forza che resistono: gli autovettori.
Non sono solo astrazioni da lavagna d’università. Se Google riesce a darti la risposta giusta tra miliardi di pagine, o se un ingegnere può garantirti che un ponte non crollerà sotto il vento, è perché qualcuno ha interrogato quegli autovettori. Sono l’ossatura invisibile della realtà, i “punti fermi” che ci permettono di prevedere il futuro di un sistema senza doverlo osservare per l’eternità. In questo articolo smettiamo di trattarli come numeri in una tabella e iniziamo a vederli come le bussole del cambiamento.
📍 Dove sei nel percorso
Questo articolo fa parte del percorso di MatematicaOltre:
✔ Cosa dovresti già sapere
– cosa sono le matrici
– il significato geometrico di una trasformazione lineare
– l’idea di determinante come misura globale
🔎 Cosa stai imparando qui
– perché alcune direzioni non cambiano sotto una trasformazione
– come gli autovalori determinano crescita, stabilità o collasso
– perché autovalori e autovettori sono centrali nei sistemi dinamici
➡️ Cosa sblocca questo articolo
– la lettura qualitativa dei sistemi dinamici
– il modello di Leslie e le popolazioni
– la PCA e l’analisi dei dati
Autovalori e autovettori: a cosa servono davvero?
Chi studia matematica al liceo oppure sta preparando l’esame di Algebra Lineare incontra spesso autovalori e autovettori come un argomento tecnico, pieno di calcoli e apparentemente lontano dalla realtà. La domanda è sempre la stessa:
«Ma nella pratica, a cosa servono?»
La risposta è sorprendente: servono a capire come si comportano i sistemi nel tempo, quali componenti contano davvero e quali invece scompaiono. Sono uno degli strumenti più potenti della matematica applicata, e compaiono ovunque: popolazioni, fisica, economia, informatica, intelligenza artificiale.
1. L’idea chiave: cosa sono davvero autovalori e autovettori
Una matrice rappresenta una trasformazione: prende un vettore e lo modifica (lo allunga, lo accorcia, lo ruota, lo mescola).
Alcune direzioni però sono speciali.
- Un autovettore è una direzione che non cambia verso dopo la trasformazione.
- Un autovalore indica quanto quella direzione viene modificata.
Formalmente:
[math]A v = \lambda v[/math]
Ma l’interpretazione è più importante della formula: la matrice agisce sull’autovettore solo come uno zoom, senza cambiare direzione.
2. Visualizzare l’idea
Immagina una griglia cartesiana deformata da una matrice:
- la griglia nel complesso si inclina e si distorce
- alcune rette però rimangono rette
Quelle rette individuano gli autovettori.
- se [math]\lambda > 1[/math] → la direzione si allunga
- se [math]0 < \lambda < 1[/math] → si accorcia
- se [math]\lambda < 0[/math] → si inverte
- se [math]\lambda = 0[/math] → viene annullata
Queste direzioni sono le linee strutturali della trasformazione.
[math]\lambda[/math] spiegata semplice
La lettera greca [math]\lambda[/math] (lambda) rappresenta l’autovalore. Se l’autovettore è la “direzione” che non cambia, [math]\lambda[/math] è il numero che ti dice cosa succede lungo quella direzione.
Immagina [math]\lambda[/math] come il “comando dell’intensità” di una trasformazione. Ecco come interpretarlo concretamente:
1. Il significato matematico
Nell’equazione fondamentale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
A v = \lambda v
\end{aligned}[/math]
- [math]A[/math] è la matrice (la trasformazione).
- [math]v[/math] è l’autovettore (la direzione speciale).
- [math]\lambda[/math] è un numero (scalare).
La magia sta qui: moltiplicare un vettore per una matrice intera ([math]A \cdot v[/math]) di solito è un calcolo lungo e complesso. Ma per gli autovettori, questo calcolo “collassa” in una semplice moltiplicazione per un numero ([math]\lambda \cdot v[/math]). In pratica, lungo quella direzione, la matrice si comporta come una semplice tabellina.
2. [math]\lambda[/math] come “Diagnosi” (Perché è utile?)
Se guardi i [math]\lambda[/math] di un sistema, capisci subito come finirà la storia senza fare calcoli iterativi:
- In un ponte: Se un autovalore [math]\lambda[/math] corrisponde alla frequenza del vento, il ponte inizierà a oscillare fino a rompersi (risonanza).
- In Google: Il [math]\lambda[/math] ti aiuta a capire quanto “peso” dare a una pagina web rispetto a un’altra.
- In Biologia: Se [math]\lambda[/math] è il tasso di riproduzione di un virus, [math]\lambda > 1[/math] significa pandemia, [math]\lambda < 1[/math] significa che il virus sta scomparendo.
3. Come si trova?
Si trova risolvendo l’equazione caratteristica:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\det(A – \lambda I) = 0
\end{aligned}[/math]
Questa formula serve a “estrarre” i valori di [math]\lambda[/math] che rendono il sistema coerente. È come cercare le frequenze armoniche di uno strumento musicale: non tutte le note “suonano” bene con la struttura della matrice, solo quelle che risolvono questa equazione.
In sintesi: Se l’autovettore è il binario, [math]\lambda[/math] è la velocità a cui il treno corre su quel binario. Se [math]\lambda[/math] è negativo, il treno ha inserito la retromarcia.
3. Perché sono fondamentali nei sistemi che evolvono nel tempo
Molti sistemi reali possono essere descritti così:
[math]x_{t+1} = A x_t[/math]
Ripetendo la trasformazione:
- le componenti legate ad autovalori grandi dominano
- quelle legate ad autovalori piccoli scompaiono
→ Gli autovalori decidono il destino del sistema.
4. Esempio didattico 1: una popolazione (matrice di Leslie)
Consideriamo una popolazione divisa in classi di età. L’evoluzione è descritta da una matrice di Leslie:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
L = \begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
0.5 & 0 & 0 \\
0 & 0.7 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
Interpretazione pratica
- Autovalore dominante: tasso di crescita della popolazione
- Autovettore associato: distribuzione stabile per età
Qualunque sia la popolazione iniziale, nel lungo periodo:
- la popolazione cresce o decresce secondo l’autovalore principale
- e si stabilizza secondo il suo autovettore
Questo è un risultato potentissimo, con applicazioni in demografia, ecologia, economia.
Perché l’Esercizio sulla Matrice di Leslie è interessante?
Questo esercizio è affascinante perché trasforma la biologia in geometria.
- L’Autovalore Dominante: Rappresenta il tasso di crescita. Se [math]\lambda_{max} = 1.05[/math], la popolazione cresce del 5% a ogni ciclo. È il “numero magico” che dice a un ecologo se una specie rischia l’estinzione o se è infestante.
- L’Autovettore Associato: Non ci dice quanti individui ci sono, ma in che proporzione sono divisi. Se l’autovettore è [math](0.6, 0.3, 0.1)[/math], significa che, qualunque sia il numero iniziale, il sistema tenderà sempre ad avere il 60% di giovani, il 30% di adulti e il 10% di anziani. È lo stato di equilibrio dinamico.
- Il “senso” degli zeri: Gli zeri nella matrice non sono casuali; indicano che i neonati non partoriscono subito (0 in alto a sinistra) e che gli anziani non tornano giovani. La struttura della matrice riflette la struttura della vita.
Capire la Matrice di Leslie significa comprendere come la struttura interna di un sistema ne determini il destino a lungo termine, indipendentemente dalle condizioni iniziali.
5. Esempio didattico 2: stabilità di un sistema dinamico
Consideriamo:
[math]\dot{x} = A x[/math]
Il tipo di equilibrio dipende dagli autovalori di [math]A[/math]:
- autovalori negativi → equilibrio stabile
- autovalori positivi → equilibrio instabile
- autovalori complessi → oscillazioni
→ Gli autovalori classificano il comportamento del sistema senza risolvere l’equazione.
6. Autovalori nei dati: PCA e intelligenza artificiale
In analisi dei dati si costruisce la matrice di covarianza.
- gli autovettori sono le direzioni di massima variabilità
- gli autovalori misurano quanta informazione c’è in ciascuna direzione
La PCA (Principal Component Analysis):
- conserva pochi autovettori principali
- riduce la dimensionalità
- elimina rumore
È uno strumento base del machine learning moderno.
📘 PCA (Analisi Componenti Principali): Mettere ordine nel caos dei dati. Guida completa con Python
📘 Data Science per E-commerce: Identificare i Serial Returners con PCA e Python
7. Autovalori nascosti nella vita quotidiana
- PageRank di Google → autovettore dominante di una matrice di link
- Vibrazioni di ponti ed edifici → modi propri
- Economia (modelli input-output) → stabilità dei sistemi produttivi
Ovunque c’è una struttura che si ripete, ci sono autovalori.
8. Perché si studiano a scuola (e non è un caso)
Studiare autovalori e autovettori allena a:
- leggere sistemi complessi
- distinguere ciò che è strutturale da ciò che è accidentale
- ragionare sul lungo periodo
Non sono solo un argomento tecnico, ma un modo di pensare.
Spesso a scuola insegnano a risolvere il polinomio caratteristico come un esercizio di enigmistica. È un errore. L’autovalore non è il “risultato di un conto”, è la diagnosi di un sistema. Se un autovalore è maggiore di 1, il sistema sta esplodendo; se è minore, sta morendo.
Esempio: Distinguere la sostanza dal rumore (Il filtro del Data Scientist)
Immagina di voler capire cosa rende davvero virali i post su un social. Hai migliaia di dati: orario di pubblicazione, lunghezza del testo, colori usati, like, commenti, condivisioni…
- L’errore comune: Fissarsi su un solo post che ha spopolato “per caso”. Questo è “l’accidentale”: un colpo di fortuna isolato.
- Il pensiero con gli autovettori: Sono come una bussola che individua le “direzioni principali”. Ti mostrano i pattern veri e ripetibili, ignorando i casi fortunati isolati.
- L’autovalore ([math]\lambda[/math]): È il “volume” di quella direzione. Se è alto, il pattern è potente; se è basso, è solo rumore di fondo.
Scenario concreto: 3 tipi di contenuto, 3 metriche
In un mondo ideale, ogni dato che raccogliamo è importante. Nella realtà, la maggior parte dei dati è rumore di fondo o ripetizione di informazioni che già abbiamo.
La PCA usa gli autovettori per fare “pulizia”, lasciando solo lo scheletro essenziale dell’informazione.
1. Il Set di Dati (La Matrice [math]X[/math])
Immaginiamo di analizzare 3 tipi di post sui social media. Misuriamo 3 metriche (Like, Commenti, Condivisioni). Ogni riga è un post, ogni colonna una metrica:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
X = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
2. Creare la “Mappa delle Relazioni” (Matrice di Covarianza)
Per capire quali metriche si muovono insieme, calcoliamo la matrice di covarianza [math]C = X^T X[/math]. Questo passaggio trasforma i dati grezzi in una mappa di relazioni reciproche.
Il calcolo corretto:
- [math]C_{11}[/math] (Like-Like): [math](2^2 + 1^2 + 4^2) = 4 + 1 + 16 = \mathbf{21}[/math]
- [math]C_{22}[/math] (Comm-Comm): [math](1^2 + 0^2 + 2^2) = 1 + 0 + 4 = \mathbf{5}[/math]
- [math]C_{33}[/math] (Cond-Cond): [math](0^2 + (-1)^2 + 1^2) = 0 + 1 + 1 = \mathbf{2}[/math]
- [math]C_{12}[/math] (Relazione Like-Comm): [math](2\cdot1 + 1\cdot0 + 4\cdot2) = 2 + 0 + 8 = \mathbf{10}[/math]
- [math]C_{13}[/math] (Relazione Like-Cond): [math](2\cdot0 + 1\cdot(-1) + 4\cdot1) = 0 – 1 + 4 = \mathbf{3}[/math]
- [math]C_{23}[/math] (Relazione Comm-Cond): [math](1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 2\cdot1) = 0 + 0 + 2 = \mathbf{2}[/math]
Otteniamo la matrice simmetrica:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
C = \begin{pmatrix}
21 & 10 & 3 \\
10 & 5 & 2 \\
3 & 2 & 2
\end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
3. Estrarre l’Essenza: Autovalori e Autovettori
Risolvendo l’equazione caratteristica [math]\det(C – \lambda I) = 0[/math], estraiamo la gerarchia del sistema:
- [math]\lambda_1 \approx 26.2[/math] (Il Segnale Dominante): Rappresenta circa l’89% dell’informazione totale. È la “tendenza maestra”.
- [math]\lambda_2 \approx 1.5[/math]: Un trend secondario, molto più debole.
- [math]\lambda_3 \approx 0.3[/math]: Rumore. È l’incidente statistico, il colpo di fortuna che non si ripeterà.
Perché quel numero, [math]\lambda_1 \approx 26.2[/math], rappresenta il 94% dell’informazione?
Per capirlo, dobbiamo smettere di pensare alla matematica come a un insieme di regole e iniziare a vederla come un bilancio energetico. Ecco la spiegazione “sotto il cofano”:
1. La “Torta” dell’Informazione (Varianza Totale)
In statistica e PCA, l’informazione è sinonimo di varianza (quanto i dati si disperdono). Se i dati fossero tutti uguali, l’informazione sarebbe zero.
La quantità totale di informazione è data dalla somma di tutti gli autovalori. Immagina una torta che rappresenta il 100% della conoscenza sul fenomeno:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Somma Totale} &= \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \\
26.2 + 1.5 + 0.3 &= 28.0
\end{aligned}[/math]
Nota tecnica: La somma degli autovalori è sempre uguale alla traccia della matrice di covarianza (la somma degli elementi sulla diagonale principale): [math]21 + 5 + 2 = 28[/math].
2. Calcolare la “Fetta” del Dominante
Per sapere quanta informazione cattura il primo autovettore, calcoliamo il Rapporto di Varianza Spiegata:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Varianza Spiegata} = \frac{\lambda_1}{\sum \lambda_i} = \frac{26.2}{28.0} \approx 0.935 \quad \mathbf{(93.5\%)}
\end{aligned}[/math]
Il calcolo puro ci dice che il primo autovettore è straordinariamente potente: cattura quasi il 94% di tutto ciò che conta realmente nei dati.
3. Cosa significa concretamente?
Immagina di voler descrivere il successo di un post usando 3 numeri (Like, Commenti, Condivisioni). È complesso. Grazie a quel [math]\lambda_1[/math] così grande, la PCA ti sta dicendo:
“Non serve impazzire dietro a tre metriche. Se guardi solo la direzione del primo autovettore ([math]v_1[/math]), hai già capito il 94% della storia. Il resto è solo rumore di fondo.”
Perché è la “Tendenza Maestra”?
In un sistema caotico, se un autovalore “schiaccia” gli altri, significa che esiste una forza invisibile che guida il movimento:
- Nel marketing: Esiste un “Fattore X” (es. l’utilità del contenuto) che genera Like e Commenti in modo sincronizzato.
- Nella finanza: C’è un indice di mercato che trascina tutti i titoli.
- Nella fisica: È la frequenza di risonanza principale del sistema.
Senza gli autovalori, vedresti solo una nuvola di punti confusa. Con gli autovalori, vedi la spina dorsale del fenomeno.
Trovare l’Autovettore [math]v_1[/math]: L’Algebra Applicata
Per trovare l’autovettore [math]v_1[/math] non serve un miracolo, ma un po’ di sana algebra lineare applicata. L’idea è questa: stiamo cercando quel vettore che, dato in pasto alla matrice [math]C[/math], viene solo allungato di 26.2 volte senza cambiare direzione.
1. Il sistema da risolvere
Dobbiamo risolvere l’equazione [math](C – \lambda_1 I)v_1 = 0[/math]. In pratica, sottraiamo il nostro autovalore [math]\lambda_1 = 26.2[/math] dalla diagonale principale della matrice di covarianza [math]C[/math].
Sia [math]v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/math] il vettore che cerchiamo (dove [math]x[/math] sono i Like, [math]y[/math] i Commenti e [math]z[/math] le Condivisioni).
[math]\displaystyle \begin{aligned}
(C – 26.2I) &= \begin{pmatrix} 21-26.2 & 10 & 3 \\ 10 & 5-26.2 & 2 \\ 3 & 2 & 2-26.2 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -5.2 & 10 & 3 \\ 10 & -21.2 & 2 \\ 3 & 2 & -24.2 \end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
Ora impostiamo il sistema lineare omogeneo:
[math]\displaystyle \begin{cases} -5.2x + 10y + 3z = 0 \\ 10x – 21.2y + 2z = 0 \\ 3x + 2y – 24.2z = 0 \end{cases}[/math]
2. Risolvere “alla mano”
Gli autovettori identificano una direzione, quindi non hanno un valore unico (possono essere scalati). Per comodità, fissiamo una variabile, ad esempio [math]z = 1[/math].
- Dalla terza equazione: [math]3x + 2y = 24.2[/math]
- Dalla seconda equazione: [math]10x – 21.2y = -2[/math]
Risolvendo questo sistema 2×2, e procedendo poi alla normalizzazione (facendo sì che la lunghezza totale del vettore sia 1, ovvero [math]||v|| = 1[/math]), otteniamo il risultato finale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
v_1 \approx \begin{pmatrix} 0.88 \\ 0.42 \\ 0.18 \end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
3. La “Ricetta del Successo”: Come si mescolano i dati?
L’autovettore [math]v_1[/math] è come una ricetta dove gli ingredienti sono le tue metriche originali. I numeri al suo interno sono i “pesi”:
- 0.88 (Like): Peso massimo. La direzione principale del successo è dominata dai Like.
- 0.42 (Commenti): Contribuisce a definire la tendenza, ma non è il motore primario.
- 0.18 (Condivisioni): Peso minimo. Le condivisioni sono quasi un “effetto collaterale” statistico.
“Smetti di disperdere energie cercando la viralità delle condivisioni. La tua ‘linea di forza’ è una combinazione massiccia di Like e interazione nei commenti. Punta lì.”
In pratica, l’autovettore ha preso 3 dimensioni confuse e le ha collegate in un unico binario che punta dritto verso ciò che genera valore reale.
L’Autovettore principale ([math]v_1[/math]): È la direzione nello spazio delle metriche lungo la quale i dati “esplodono” maggiormente. In questo caso, [math]v_1[/math] avrà pesi alti su Like e Commenti, confermando che la vera forza del profilo social sta nell’interazione rapida.
Il cuore della PCA in tre idee
🔹 Cosa rappresenta λ₁ (il primo autovalore)
È la quantità di informazione catturata dalla direzione più importante nei dati.
In termini statistici: è la varianza massima che il sistema può spiegare lungo un’unica direzione.
🔹 Perché λ₁ domina
Perché è la direzione in cui i dati si allargano di più.
Se λ₁ è molto più grande degli altri autovalori, significa che quasi tutta la struttura del dataset
si concentra lungo un solo asse. È il motivo per cui la PCA riesce a comprimere i dati
senza perdere quasi nulla.
🔹 Come interpretare v₁ (il primo autovettore)
È la “ricetta” che combina le variabili originali per formare la direzione principale.
I suoi coefficienti indicano quanto ogni variabile contribuisce alla tendenza dominante.
Se λ₁ è il volume del fenomeno, v₁ è la sua forma.
4. Perché questo approccio è importante?
Un analista pigro guarderebbe la tabella [math]X[/math] e proverebbe a ottimizzare tutto. Il Data Scientist che usa gli autovettori, invece, capisce che:
- La terza colonna (Condivisioni) è quasi irrilevante per la struttura del successo attuale.
- Invece di gestire 3 variabili, può proiettare il sistema su una sola dimensione (quella di [math]v_1[/math]), guadagnando un’enorme chiarezza decisionale.
Commento Tecnico-Applicativo
Questo esercizio sulla PCA è didatticamente prezioso per tre motivi:
- La Riduzione della Dimensionalità: Mostra come passare da uno spazio 3D a uno 1D. È lo stesso principio con cui gli algoritmi di compressione rendono i video leggeri senza rovinarne la qualità.
- La Simmetria della Covarianza: La matrice [math]C[/math] è sempre simmetrica. Questo garantisce matematicamente che i suoi autovettori siano ortogonali (perpendicolari).
- Il Peso del Dominante: In sistemi reali (come il PageRank di Google), la differenza tra l’autovalore più grande e gli altri è enorme, permettendoci di ignorare il 99% della complessità inutile.
Una curiosità:
Sapevi che questo stesso calcolo viene usato dai software di riconoscimento facciale? In quel caso, le colonne sono i pixel dell’immagine e gli autovettori risultanti vengono chiamati Eigenfaces: i “volti fantasma” essenziali per distinguere una persona dall’altra.
9. Idea chiave da ricordare
Gli autovettori sono le direzioni che non cambiano.
Gli autovalori dicono cosa il tempo fa a quelle direzioni.
Capirli significa capire come il mondo evolve sotto trasformazioni ripetute.
Approfondimento: Come calcolare il Polinomio Caratteristico
Per trovare gli autovalori di una matrice A, dobbiamo identificare i valori di [math]\lambda[/math] che soddisfano l’equazione fondamentale [math]Av = \lambda v[/math]. Algebricamente, questo equivale a cercare i valori che rendono singolare la matrice [math]A – \lambda I[/math].
1. L’Equazione Caratteristica
Il punto di partenza è sempre il calcolo del determinante della matrice sottratta dell’identità scalata:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
p(\lambda) = \det(A – \lambda I) = 0
\end{aligned}[/math]
Questo determinante genera un polinomio in [math]\lambda[/math] di grado [math]n[/math] (dove [math]n[/math] è l’ordine della matrice). Le radici di questo polinomio sono esattamente i nostri autovalori.
2. Esempio Pratico: Matrice 2×2
Consideriamo una matrice generica [math]A[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
Sottraiamo [math]\lambda[/math] dalla diagonale principale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
A – \lambda I = \begin{pmatrix} a – \lambda & b \\ c & d – \lambda \end{pmatrix}
\end{aligned}[/math]
Calcoliamo il determinante (prodotto diagonale principale meno diagonale secondaria):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
p(\lambda) &= (a – \lambda)(d – \lambda) – (b \cdot c) \\
&{} \quad \text{Sviluppando i calcoli otteniamo:} \\
p(\lambda) &= \lambda^2 – (a + d)\lambda + (ad – bc)
\end{aligned}[/math]
Noterete che il coefficiente di [math]\lambda[/math] è la Traccia della matrice (somma degli elementi sulla diagonale), mentre il termine noto è il Determinante della matrice originale.
3. Cosa succede per matrici più grandi?
Per una matrice 3×3 o superiore, il calcolo diventa più laborioso e richiede metodi come la Regola di Sarrus o lo Sviluppo di Laplace. Tuttavia, il principio non cambia:
- Si ottiene un polinomio di terzo grado (o superiore).
- Si risolve l’equazione per trovare le radici.
- Ogni radice trovata è un autovalore che descrive una “direzione privilegiata” del sistema.
Regola Anti-Overflow: Se durante il calcolo manuale i termini diventano troppo lunghi, ricordate di spezzare l’equazione:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\det(A – \lambda I) &= (a_{11} – \lambda) \cdot \text{cofattore}_{11} \\
&{} \quad – a_{12} \cdot \text{cofattore}_{12} + a_{13} \cdot \text{cofattore}_{13}
\end{aligned}[/math]
Una volta ottenuti gli autovalori, il passo successivo sarà risolvere il sistema lineare omogeneo associato per trovare gli autovettori corrispondenti.
Matrici & Algebra Lineare
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