Matrici a scala ridotta. Il teorema di di Gauss-Jordan

Definizione di matrice a scala ridotta

Una matrice A si dice a scala ridotta per righe se essa e una matrice a scala per righe, se i pivot sono tutti uguali ad 1 e se, in ogni colonna contenente il pivot di una riga, tutti gli elementi diversi dal pivot sono uguali a zero. Sono matrici a scala ridotta la matrice nulla e la matrice identica.

Per ottenere una matrice a scala per righe ridotta si utilizza invece l’algoritmo di Gauss-Jordan.

Teorema di Gauss-Jordan

Ogni matrice è equivalente per righe ad una ed una sola matrice a scala ridotta dello stesso tipo.

La dimostrazione di questo risultato risiede nell’algoritmo presentato di seguito.

Algoritmo di Gauss-Jordan

Passo 1
Si esegue l’algoritmo di Gauss per trasformare la matrice A in una matrice a scala equivalente per righe.
Passo 2
Si moltiplica ogni riga per un opportuno scalare tale da rendere ogni pivot uguale ad 1.
Passo 3
Si considerano le righe non nulle e, a partire dall’ultima, si annullano gli elementi di ogni colonna contenente un pivot e che sono al di sopra del pivot stesso. Questo risultato si ottiene sommando alle varie righe opportuni multipli della riga in esame contenete il pivot.

Esempio 

Si vuole ridurre a scala con l’algoritmo di Gauss-Jordan la seguente matrice:

La matrice è non nulla e per il passo 1 dell’ algoritmo di Gauss    quindi si può proseguire. La matrice ha più di una riga e dunque si considera il procedimento esposto nel passo 2. La colonna non nulla con indice più basso è la prima ed il suo pivot è 2. L’indice di riga corrispondente è1. Bisogna allora moltiplicare la riga per 1/2, ottenendo:

A questo punto vanno annullati tutti gli elementi nella prima colonna, sommando multipli della prima ottenendo:

Va ora considerata la matrice schermata:

La matrice schermata possiede due righe non nulle e la colonna non nulla con indice pi`u basso è la seconda ed il pivot è −3/2. Ancora una volta non occorrono scambi, poichè il pivot è nella prima riga.
Tale riga va moltiplicata per −2/3 e si ottiene:

Moltiplicando la terza riga per −1 si ottiene:

Partendo dal basso, si annullano ora tutti gli elementi sovrastanti il pivot di ogni riga nella propria colonna. Va dunque considerata la matrice:

Alla seconda riga va sommata la terza moltiplicata per 2/3, ottenendo:

Infine, la prima riga va sommata alla seconda moltiplicata per −1/2:

La matrice così ottenuta è una matrice a scala ridotta per righe equivalente alla matrice A.

Matrice a gradini

Esercizi risolti con il metodo “a gradini”

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