Fasci di coniche. Esercizi svolti

Coniche e loro classificazione analitica

 

ESERCIZIO

Dato il seguente fascio di coniche:

determinare i valori del parametro t per cui
(1) γ_t è una parabola;
(2) γ_t è una iperbole;
(3) γ_t è una ellisse con punti reali;
(4) γ_t è una circonferenza;
(5) γ_t è una conica degenere;
(6) γ_t è una ellisse senza punti reali.

SOLUZIONE

La matrice delle coniche del fascio è

mentre la matrice associata alla parte quadratica dell’ equazione della conica è

Ricordiamo che una conica è degenere se, e solo se, il determinante della sua matrice è nullo.

Nel nostro caso, abbiamo allora che γ_t è degenere se, e solo se,

det(B_t) = (1 −t)²(1 + t) = 0

ossia se, e solo se, t = 1 oppure t = −1.

In tal modo, otteniamo la risposta alla domanda (5).

In particolare, γ₁ è la conica di equazione

x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0

e quindi è una retta doppia,

mentre, γ₋₁ è la conica di equazione

x² + 2y² − 2x − 4y + 3 = (x − 1)² + 2(y − 1)² = 0

 

e  quindi γ₋₁ ha il punto (1, 1) come suo solo punto reale, essendo la sua equazione somma di due quadrati.

Sia quindi t ≠ −1, 1.
Ricordiamo che, se γ è una conica non degenere, essa

• è un’ ellisse se gli autovalori di A sono concordi, ovvero se det(A) > 0;
• è una parabola se uno degli autovalori è nullo, ovvero se det(A) = 0;
• è un’ iperbole se gli autovalori sono discordi, ovvero se det(A) < 0.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE

Poichè A_t è una matrice diagonale, i suoi autovalori sono 1, 1−t, e quindi γ_t è un’ ellisse se t > 1, e gli autovalori sono entrambi positivi, è un’ iperbole se t < 1, t≠ −1, mentre non è mai una parabola perchè  l’ unico valore per cui A_t ha un autovalore nullo è t = 1, per cui γ_t
è degenere.

Abbiamo quindi ottenuto la risposta alle domande dei punti (1) e (2).

Per capire i valori per cui γ_t è un’ ellisse con punti reali, ricordiamo che questo capita quando tr(A_t) det(B_t) < 0 dove tr(A) è la somma degli elementi lungo la diagonale principale di A_t. Dobbiamo quindi discutere la disequazione

(2 − t)(1 − t)2(1 + t) < 0

che è risolta per t < −1 oppure t > 2.

In sintesi, γ_t è un’ ellisse con punti reali se t < −1, mentre è un’ ellisse senza punti reali se −1 < t < 1.

Infine, γ_t è una circonferenza se A_t ha un autovalore di molteplicità 2 e questo capita solo se 1 − t = 1, ossia t = 0.

Osserviamo che t = 0 è nell’ intervallo per cui γ_t rappresenta ellissi senza punti reali, e questo vuol dire che γ₀ è una circonferenza senza punti reali. Infatti, γ₀ ha equazione

x² + y² − 2y + 2 = 0

che verifica

Ciò conferma che la circonferenza è priva di punti reali.

Infatti:

Le circonferenze

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