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Definizione. Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
Scegliamo sul piano un punto F e una retta d.
Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola.
Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
Il punto in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice della parabola.
Osservazione. Il vertice della parabola è il punto medio del segmento avente come estremi il fuoco e la proiezione di questo sulla direttrice.
Si dimostra che l’equazione di una generica parabola è la seguente:
y = ax2 + bx +c con a ∈ R – {0}
EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE COINCIDENTE CON L’ ASSE Y E VERTICE NELL’ORIGINE DEGLI ASSI
Esempio:
IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA
IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA
Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.
ALCUNI CASI PARTICOLARI
INTERSEZIONI DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA (NON PARALLELA ALL’ ASSE y)
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione della retta
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo grado
le cui soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con la retta.
Se Δ> 0 , la retta è secante la parabola in due punti.
Se Δ= 0 , la retta è tangente alla parabola in un punto.
Se Δ< 0 , la retta è esterna alla parabola.
RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
Se un punto P è esterno alla parabola: si possono tracciare due rette tangenti.
Se un punto P è sulla parabola: una sola retta tangente.
Se un punto P è interno alla parabola: non è possibile tracciare rette tangenti, ossia non esistono rette tangenti.
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione del fascio proprio di rette passanti per P(X0,Y0)
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo grado
Si pone la condizione di tangenza, ossia Δ = 0 . Si risolve rispetto a m l’equazione ottenuta e si sostituiscono nell’equazione del fascio gli eventuali valori determinati.
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