Davanti a un problema di geometria, l’istinto ci spinge spesso a cercare angoli nascosti, proprietà degli archi o teoremi di Euclide da applicare in modo quasi automatico.

Ma esiste un altro modo di guardare le figure: immaginarle immerse in un piano cartesiano.

Quando trasformiamo punti e segmenti in coordinate, molte configurazioni apparentemente complicate diventano improvvisamente ordinate e leggibili.
La geometria analitica non sostituisce la geometria classica: la potenzia.

In questo esercizio vedremo proprio questo meccanismo in azione.

Partendo da un semplice semicerchio, riusciremo a determinare il raggio della figura usando:

• trigonometria;
• coordinate cartesiane;
• proprietà della circonferenza;
• algebra elementare.

E, lungo il percorso, scopriremo anche una sorprendente simmetria nascosta nella figura.

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Problema

Testo del problema

Nel semicerchio di diametro [math]DE[/math], il punto [math]C[/math] appartiene al diametro stesso.

Dal punto [math]C[/math] vengono tracciati i segmenti [math]CA[/math] e [math]CB[/math], che incontrano la semicirconferenza rispettivamente nei punti [math]A[/math] e [math]B[/math].

Si conoscono i seguenti dati:

• [math]AC = 5 \text{ cm}[/math]
• [math]BC = 8 \text{ cm}[/math]
• i segmenti [math]CA[/math] e [math]CB[/math] formano entrambi un angolo di [math]60^\circ[/math] con il diametro.

Determinare il raggio del semicerchio.

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Strategia risolutiva

La figura suggerisce immediatamente l’uso della trigonometria:

• conosciamo lunghezze;
• conosciamo angoli;
• dobbiamo determinare una posizione geometrica.

In situazioni di questo tipo, la geometria analitica è spesso la scelta più efficace.

L’idea chiave sarà:

1. introdurre un sistema di riferimento cartesiano;
2. esprimere le coordinate dei punti;
3. imporre la condizione di appartenenza alla circonferenza.

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Scelta del sistema di riferimento

Poniamo:

• il centro del semicerchio nell’origine:

[math]O=(0,0)[/math]

• il diametro [math]DE[/math] lungo l’asse delle ascisse;
• la semicirconferenza nel semipiano superiore.

Se indichiamo con [math]R[/math] il raggio del semicerchio, l’equazione della circonferenza sarà:

[math]x^2+y^2=R^2[/math]

Poiché stiamo considerando solo la semicirconferenza superiore:

[math]y\ge0[/math]

Coordinate del punto C

Il punto [math]C[/math] appartiene al diametro, cioè all’asse [math]x[/math].

Le sue coordinate saranno quindi:

[math]C=(c,0)[/math]

dove [math]c[/math] è una quantità ancora sconosciuta.

Determinazione delle coordinate del punto A

Il segmento:

[math]AC=5[/math]

forma un angolo di:

[math]120^\circ[/math]

rispetto al semiasse positivo delle [math]x[/math].

Perché [math]120^\circ[/math]?

Perché il segmento è inclinato verso sinistra e forma [math]60^\circ[/math] con il diametro.

Richiamo teorico

Se un punto si trova a distanza [math]r[/math] dall’origine e forma un angolo [math]\theta[/math] con l’asse positivo delle [math]x[/math], allora:

[math]x=r\cos\theta[/math]

[math]y=r\sin\theta[/math]

Coordinate di A

Partendo dal punto [math]C(c,0)[/math]:

[math]\displaystyle x_A=c+5\cos120^\circ[/math]

[math]\displaystyle y_A=5\sin120^\circ[/math]

Ricordiamo che:

[math]\cos120^\circ=-\frac12[/math]

[math]\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle x_A=c-\frac52[/math]

[math]\displaystyle y_A=\frac{5\sqrt3}{2}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle A=\left(c-\frac52,\frac{5\sqrt3}{2}\right)[/math]

Determinazione delle coordinate del punto B

Il segmento:

[math]BC=8[/math]

forma invece un angolo di:

[math]60^\circ[/math]

con il semiasse positivo delle [math]x[/math].

Coordinate di B

Usiamo nuovamente le formule trigonometriche.

[math]\displaystyle x_B=c+8\cos60^\circ[/math]

[math]\displaystyle y_B=8\sin60^\circ[/math]

Poiché:

[math]\cos60^\circ=\frac12[/math]

[math]\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/math]

otteniamo:

[math]\displaystyle x_B=c+4[/math]

[math]\displaystyle y_B=4\sqrt3[/math]

Dunque:

[math]\displaystyle B=(c+4,4\sqrt3)[/math]

Condizione di appartenenza alla circonferenza

I punti [math]A[/math] e [math]B[/math] appartengono alla semicirconferenza.

Questo significa che la loro distanza dal centro deve coincidere con il raggio.

In formula:

[math]OA=OB=R[/math]

Equivalentemente, le coordinate devono soddisfare:

[math]x^2+y^2=R^2[/math]

Equazione relativa al punto A

Sostituiamo le coordinate di [math]A[/math]:

[math]\displaystyle \left(c-\frac52\right)^2+\left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2=R^2[/math]

Sviluppiamo i calcoli.

Quadrato del primo termine

[math]\displaystyle \left(c-\frac52\right)^2=c^2-5c+\frac{25}{4}[/math]

Quadrato del secondo termine

[math]\displaystyle \left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{75}{4}[/math]

Somma

[math]\displaystyle c^2-5c+\frac{25}{4}+\frac{75}{4}=R^2[/math]

[math]\displaystyle c^2-5c+\frac{100}{4}=R^2[/math]

[math]\displaystyle c^2-5c+25=R^2[/math]

Equazione relativa al punto B

Sostituiamo ora le coordinate di [math]B[/math]:

[math]\displaystyle (c+4)^2+(4\sqrt3)^2=R^2[/math]

Sviluppo dei calcoli

[math]\displaystyle (c+4)^2=c^2+8c+16[/math]

[math]\displaystyle (4\sqrt3)^2=48[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle c^2+8c+16+48=R^2[/math]

[math]\displaystyle c^2+8c+64=R^2[/math]

Determinazione del valore di c

Poiché entrambe le espressioni sono uguali a [math]R^2[/math], possiamo uguagliarle:

[math]\displaystyle c^2-5c+25=c^2+8c+64[/math]

Eliminiamo [math]c^2[/math]:

[math]\displaystyle -5c+25=8c+64[/math]

Portiamo i termini simili dallo stesso lato:

[math]\displaystyle -13c=39[/math]

Da cui:

[math]c=-3[/math]

Interpretazione geometrica

Il valore:

[math]c=-3[/math]

significa che il punto [math]C[/math] si trova:

• sull’asse [math]x[/math];
• a sinistra del centro;
• a distanza [math]3 \text{ cm}[/math] dall’origine.

Calcolo del raggio

Sostituiamo [math]c=-3[/math] nell’equazione relativa al punto [math]B[/math]:

[math]\displaystyle R^2=(-3)^2+8(-3)+64[/math]

[math]\displaystyle R^2=9-24+64[/math]

[math]\displaystyle R^2=49[/math]

Quindi:

[math]R=\sqrt{49}=7[/math]

Essendo il raggio una lunghezza:

[math]\boxed{R=7\text{ cm}}[/math]

Osservazione strategica importante

Molti studenti cercano immediatamente:

• il Teorema di Pitagora;
• proprietà delle corde;
• relazioni sugli archi.

In realtà, il problema diventa molto più ordinato quando si osserva che:

• gli angoli sono noti;
• le lunghezze sono note;
• quindi le coordinate dei punti sono facilmente determinabili.

La geometria analitica trasforma una figura complessa in un problema algebrico perfettamente gestibile.

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Quesito 1 — Determinare la lunghezza della corda AB

Per questo calcolo utilizziamo una tecnica molto importante della geometria analitica:

la traslazione del sistema di riferimento.

Per semplificare i conti, spostiamo momentaneamente l’origine nel punto [math]C[/math].

Perché possiamo farlo?

Le distanze tra i punti non cambiano se tutto il piano viene traslato rigidamente.

Questa proprietà prende il nome di:

invarianza delle distanze per traslazione.

Quindi la lunghezza di [math]AB[/math] resterà invariata.

Nuove coordinate dei punti

Nel nuovo sistema:

[math]C=(0,0)[/math]

Le coordinate diventano:

[math]\displaystyle A=\left(-\frac52,\frac{5\sqrt3}{2}\right)[/math]

[math]\displaystyle B=(4,4\sqrt3)[/math]

Formula della distanza

Se:

[math]P_1(x_1,y_1)[/math]

e

[math]P_2(x_2,y_2)[/math]

allora:

[math]\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]

La formula deriva direttamente dal Teorema di Pitagora.

Calcolo delle differenze

Ascisse

[math]\displaystyle \Delta x=4-\left(-\frac52\right)[/math]

[math]\displaystyle \Delta x=\frac82+\frac52=\frac{13}{2}[/math]

Ordinate

[math]\displaystyle \Delta y=4\sqrt3-\frac{5\sqrt3}{2}[/math]

[math]\displaystyle \Delta y=\frac{8\sqrt3}{2}-\frac{5\sqrt3}{2}[/math]

[math]\displaystyle \Delta y=\frac{3\sqrt3}{2}[/math]

Applicazione della formula

[math]\displaystyle AB=\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2}[/math]

[math]\displaystyle AB=\sqrt{\frac{169}{4}+\frac{27}{4}}[/math]

[math]\displaystyle AB=\sqrt{\frac{196}{4}}[/math]

[math]\displaystyle AB=\sqrt{49}[/math]

[math]\boxed{AB=7\text{ cm}}[/math]

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Quesito 2 — Dimostrare che il triangolo ACB non è equilatero

Un triangolo equilatero ha tutti i lati congruenti.

Nel nostro caso:

[math]AC=5[/math]

[math]BC=8[/math]

Poiché:

[math]5\ne8[/math]

i lati non sono congruenti.

Inoltre abbiamo trovato:

[math]AB=7[/math]

Quindi il triangolo ha lati:

[math]5,\ 7,\ 8[/math]

tutti diversi.

Pertanto:

[math]\boxed{\triangle ACB \text{ è scaleno}}[/math]

Verifica alternativa con il Teorema di Carnot

Questo esercizio mostra molto bene una delle idee più potenti della matematica:

cambiare punto di vista può semplificare radicalmente un problema.

La figura iniziale sembrava richiedere costruzioni geometriche complicate.
Invece, scegliendo con attenzione il sistema di riferimento, tutto si riduce a:

• coordinate;
• equazioni;
• algebra elementare.

Ed è proprio qui che la geometria analitica rivela la sua forza: trasformare forme e intuizioni geometriche in strumenti di calcolo rigorosi ed efficienti.