Introduzione
Ti è mai capitato di leggere il testo di un problema di geometria, guardare la figura e pensare che manchino dei dati per poterlo risolvere? L’esercizio sulle tangenti a un semicerchio che stiamo per affrontare fa esattamente questo effetto. A prima vista, abbiamo solo un paio di lunghezze e un groviglio di rette.
Eppure, incrociando le regole della vecchia geometria euclidea con gli strumenti della geometria analitica, i pezzi del puzzle si incastrano alla perfezione.
Niente intuizioni geniali cadute dal cielo: basta impostare un buon sistema di assi cartesiani e lasciare che l’algebra faccia il lavoro sporco per noi.
In questo articolo prenderemo un problema apparentemente ostico, lo risolveremo passo dopo passo e, alla fine, ne ricaveremo una regola generale così elegante che vi farà risparmiare un sacco di tempo nelle prossime verifiche.
Pronti a fare qualche calcolo?
Problema di Geometria – Tangenti a un Semicerchio
Testo
Sia [math]AB[/math] il diametro di un semicerchio di centro [math]O[/math].
Nei punti [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] sono tracciate le tangenti al semicerchio.
Le tangenti nei punti [math]A[/math] e [math]B[/math] sono segmenti verticali tali che
[math]AE = 3[/math], [math]BD = 6[/math].
La tangente nel punto [math]C[/math] incontra le due tangenti estreme nei punti [math]E[/math] e [math]D[/math].
I segmenti [math]AD[/math] ed [math]EB[/math] si intersecano nel punto [math]F[/math].
Dal punto [math]C[/math] si conduce la perpendicolare al diametro [math]AB[/math], che incontra [math]AD[/math] proprio nel punto [math]F[/math].
Determinare la lunghezza del segmento
[math]CF[/math].
Soluzione
Introduciamo un sistema di riferimento cartesiano.
Poniamo
[math]A = (0,0)[/math], [math]B = (2r, 0)[/math],
dove [math]r[/math] è il raggio del semicerchio.
Di conseguenza
[math]E = (0,3)[/math], [math]D = (2r, 6)[/math].
1. Equazione della retta [math]AD[/math]
La retta passante per [math]A(0,0)[/math] e [math]D(2r,6)[/math] ha coefficiente angolare
[math]\displaystyle m = \frac{6}{2r} = \frac{3}{r}[/math].
Quindi
[math]\displaystyle AD: y = \frac{3}{r}x[/math].
2. Equazione della retta [math]EB[/math]
Passa per [math]E(0,3)[/math] e [math]B(2r,0)[/math]. Il coefficiente angolare è
[math]\displaystyle m = \frac{0-3}{2r-0} = -\frac{3}{2r}[/math].
Quindi
[math]\displaystyle EB: y = 3 – \frac{3}{2r}x[/math].
3. Coordinate del punto [math]F[/math]
Intersechiamo le due rette:
[math]\displaystyle \frac{3}{r}x = 3 – \frac{3}{2r}x[/math].
Moltiplicando per [math]2r[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
6x &= 6r – 3x \\
9x &= 6r \\
x &= \frac{2}{3}r
\end{aligned}[/math]
Sostituendo nella retta [math]AD[/math]:
[math]\displaystyle y = \frac{3}{r} \cdot \frac{2}{3}r = 2[/math].
Pertanto
[math]\displaystyle F = \left(\frac{2}{3}r, 2\right)[/math].
4. Coordinate del punto [math]C[/math]
Poiché [math]CF[/math] è verticale (perpendicolare al diametro [math]AB[/math]), si ha
[math]\displaystyle x_C = x_F = \frac{2}{3}r[/math].
Essendo [math]C[/math] sul semicerchio di equazione
[math](x – r)^2 + y^2 = r^2[/math],
sostituiamo [math]x_C[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left(\frac{2}{3}r – r\right)^2 + y_C^2 &= r^2 \\
\left(-\frac{1}{3}r\right)^2 + y_C^2 &= r^2 \\
\frac{1}{9}r^2 + y_C^2 &= r^2 \\
y_C^2 &= \frac{8}{9}r^2 \\
y_C &= \frac{2\sqrt{2}}{3}r \quad (\text{prendiamo il valore positivo, semicerchio superiore})
\end{aligned}[/math]
Quindi
[math]\displaystyle C = \left(\frac{2}{3}r, \frac{2\sqrt{2}}{3}r\right)[/math].
5. Condizione di tangenza (passaggio fondamentale)
La tangente al cerchio
[math](x – r)^2 + y^2 = r^2[/math]
nel punto [math]C(x_C, y_C)[/math] ha equazione
[math]\displaystyle (x_C – r)(x – r) + y_C y = r^2[/math].
Poiché la tangente passa anche per [math]E = (0,3)[/math], sostituiamo [math]x=0[/math], [math]y=3[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x_C – r)(-r) + 3y_C &= r^2 \\
-rx_C + r^2 + 3y_C &= r^2 \\
-rx_C + 3y_C &= 0 \\
3y_C &= rx_C
\end{aligned}[/math]
Sostituiamo ora [math]x_C = \frac{2}{3}r[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
3y_C &= r \cdot \frac{2}{3}r = \frac{2}{3}r^2 \\
y_C &= \frac{2}{9}r^2
\end{aligned}[/math]
Ma sappiamo anche che
[math]\displaystyle y_C = \frac{2\sqrt{2}}{3}r[/math].
Uguagliamo le due espressioni:
[math]\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}r = \frac{2}{9}r^2[/math].
Moltiplichiamo per [math]9[/math]:
[math]\displaystyle 6\sqrt{2}r = 2r^2[/math].
Dividiamo per [math]2r[/math] (con [math]r > 0[/math]):
[math]\displaystyle 3\sqrt{2} = r[/math].
Quindi il raggio è
[math]\displaystyle r = 3\sqrt{2}[/math].
6. Calcolo di [math]CF[/math]
Ora possiamo calcolare le coordinate complete di [math]C[/math] e [math]F[/math].
[math]\displaystyle y_C = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 2 \cdot 2 = 4[/math].
[math]\displaystyle F = \left(\frac{2}{3}r, 2\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{2}, 2\right) = (2\sqrt{2}, 2)[/math].
Quindi
[math]\displaystyle C = (2\sqrt{2}, 4)[/math].
Il segmento [math]CF[/math] è verticale, perciò la sua lunghezza è la differenza delle ordinate:
[math]\displaystyle CF = y_C – y_F = 4 – 2 = 2[/math].
Risultato finale
[math]\displaystyle \boxed{CF = 2}[/math]
Commento
L’esercizio è un’interessante combinazione di:
- geometria delle tangenti;
- coordinate cartesiane;
- equazione della tangente a un cerchio;
- intersezione di rette;
- proprietà del semicerchio.
La difficoltà principale consiste nell’intuire che il punto [math]F[/math] può essere determinato molto facilmente come intersezione di due rette, mentre il raggio del semicerchio viene ricavato imponendo la condizione di tangenza. La corretta applicazione di quest’ultima conduce a [math]r = 3\sqrt{2}[/math] e quindi a [math]CF = 2[/math].
Esercizi Avanzati
Di seguito vengono presentati tre esercizi sul tema delle tangenti a un semicerchio, con difficoltà crescente. Ogni esercizio è corredato di soluzione dettagliata, osservazioni strategiche e domande di riflessione per approfondire la comprensione.
Esercizio 1 (livello medio)
Testo
In un semicerchio di diametro [math]AB[/math], le tangenti in [math]A[/math] e in [math]B[/math] sono due segmenti verticali. Sulla tangente in [math]A[/math] si prende il punto [math]E[/math] tale che [math]AE = 4[/math], sulla tangente in [math]B[/math] il punto [math]D[/math] tale che [math]BD = 12[/math].
La tangente al semicerchio in un punto [math]C[/math] interseca le due tangenti verticali rispettivamente in [math]E[/math] e in [math]D[/math]. Le rette [math]AD[/math] ed [math]EB[/math] si incontrano in [math]F[/math].
Sapendo che la perpendicolare condotta da [math]C[/math] al diametro [math]AB[/math] passa per [math]F[/math], determina la lunghezza del segmento [math]CF[/math].
Soluzione
Passo 1 – Sistema di riferimento
Poniamo il diametro [math]AB[/math] sull’asse [math]x[/math], con
[math]A = (0,0)[/math], [math]B = (2r, 0)[/math]
dove [math]r[/math] è il raggio del semicerchio.
Allora le tangenti verticali in [math]A[/math] e [math]B[/math] sono le rette [math]x=0[/math] e [math]x=2r[/math].
Dai dati abbiamo
[math]E = (0,4)[/math], [math]D = (2r, 12)[/math].
Passo 2 – Rette [math]AD[/math] ed [math]EB[/math]
Retta [math]AD[/math]: passa per [math]A(0,0)[/math] e [math]D(2r,12)[/math]
[math]\displaystyle y = \frac{12}{2r}x = \frac{6}{r}x[/math].
Retta [math]EB[/math]: passa per [math]E(0,4)[/math] e [math]B(2r,0)[/math]
[math]\displaystyle y = 4 – \frac{4}{2r}x = 4 – \frac{2}{r}x[/math].
Passo 3 – Coordinate di [math]F[/math]
Intersechiamo le due rette:
[math]\displaystyle \frac{6}{r}x = 4 – \frac{2}{r}x \implies \frac{8}{r}x = 4 \implies x = \frac{r}{2}[/math].
Sostituendo in [math]AD[/math]:
[math]\displaystyle y = \frac{6}{r} \cdot \frac{r}{2} = 3[/math].
Quindi
[math]\displaystyle F = \left(\frac{r}{2}, 3\right)[/math].
Passo 4 – Coordinate di [math]C[/math]
Poiché [math]CF[/math] è perpendicolare ad [math]AB[/math] (orizzontale), la retta [math]CF[/math] è verticale, quindi
[math]\displaystyle x_C = x_F = \frac{r}{2}[/math].
Essendo [math]C[/math] sul semicerchio di equazione [math](x-r)^2 + y^2 = r^2[/math], sostituiamo:
[math]\displaystyle \left(\frac{r}{2} – r\right)^2 + y_C^2 = r^2 \implies \frac{r^2}{4} + y_C^2 = r^2 \implies y_C = \frac{\sqrt{3}}{2}r[/math].
Passo 5 – Condizione di tangenza
La tangente al cerchio nel punto [math]C(x_C, y_C)[/math] ha equazione
[math]\displaystyle (x_C – r)(x – r) + y_C y = r^2[/math].
Poiché essa passa per [math]E(0,4)[/math], sostituiamo:
[math]\displaystyle (x_C – r)(-r) + 4y_C = r^2[/math].
Semplificando:
[math]\displaystyle -rx_C + r^2 + 4y_C = r^2 \implies 4y_C = rx_C[/math].
Con [math]x_C = \frac{r}{2}[/math]:
[math]\displaystyle 4y_C = \frac{r^2}{2} \implies y_C = \frac{r^2}{8}[/math].
Uguagliamo con l’espressione precedente [math]y_C = \frac{\sqrt{3}}{2}r[/math]:
[math]\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}r = \frac{r^2}{8} \implies 4\sqrt{3} = r[/math].
Passo 6 – Calcolo di [math]CF[/math]
Ora [math]y_C = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6[/math].
Quindi [math]C = \left(\frac{r}{2}, 6\right) = (2\sqrt{3}, 6)[/math], mentre [math]F = (2\sqrt{3}, 3)[/math].
Allora
[math]\displaystyle CF = 6 – 3 = 3[/math].
Risultato
[math]\displaystyle \boxed{CF = 3}[/math]
💡 Osservazione strategica
La soluzione si basa su due idee chiave:
- Intersezione di rette – [math]F[/math] si trova facilmente come incrocio di [math]AD[/math] ed [math]EB[/math] senza conoscere [math]r[/math].
- Tangenza – l’equazione della tangente al cerchio fornisce un legame tra il raggio e le coordinate di [math]C[/math], che unito all’appartenenza al cerchio permette di determinare [math]r[/math].
Domanda di riflessione
Quale relazione generale lega [math]AE[/math], [math]BD[/math] e [math]CF[/math] in questo tipo di problema? Come si può ricavare senza rifare tutto il calcolo?
Esercizio 2 (livello difficile)
Testo
Nel medesimo semicerchio con tangenti verticali in [math]A[/math] e [math]B[/math], la tangente in un punto [math]C[/math] interseca le due verticali in [math]E[/math] e [math]D[/math].
Siano [math]F[/math] l’intersezione di [math]AD[/math] ed [math]EB[/math] e si supponga che la perpendicolare da [math]C[/math] ad [math]AB[/math] passi per [math]F[/math].
Sapendo che [math]AE = 6[/math] e che [math]CF = 2[/math], determina la lunghezza [math]BD[/math].
Soluzione
Passo 1 – Impostazione generale
Come nel problema originale, poniamo [math]A = (0,0)[/math], [math]B = (2r, 0)[/math], [math]E = (0, a)[/math], [math]D = (2r, b)[/math] con [math]a = AE[/math], [math]b = BD[/math].
Abbiamo già dimostrato (si veda la soluzione dell’Esercizio 1 o la derivazione generale) che:
- Il raggio [math]r[/math] è dato da [math]r = \sqrt{ab}[/math].
- Le coordinate di [math]F[/math] sono [math]F\left(\frac{2ar}{a+b}, \frac{ab}{a+b}\right)[/math].
- La coordinata [math]y[/math] di [math]C[/math] è [math]\displaystyle y_C = \frac{2ab}{a+b}[/math] (infatti [math]\displaystyle y_C = \frac{2r^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}[/math]).
Di conseguenza
[math]\displaystyle CF = y_C – y_F = \frac{2ab}{a+b} – \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{a+b}[/math].
Quindi la formula fondamentale è
[math]\displaystyle CF = \frac{AE \cdot BD}{AE + BD}[/math].
Passo 2 – Applicazione dei dati
Con [math]AE = a = 6[/math] e [math]CF = 2[/math], abbiamo
[math]\displaystyle 2 = \frac{6b}{6+b}[/math].
Risolviamo:
[math]\displaystyle 2(6+b) = 6b \implies 12 + 2b = 6b \implies 4b = 12 \implies b = 3[/math].
Passo 3 – Verifica
[math]BD = 3[/math] soddisfa le condizioni: [math]r = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}[/math], e la formula dà [math]CF = 18/(6+3) = 2[/math].
Risultato
[math]\displaystyle \boxed{BD = 3}[/math]
💡 Osservazione
La formula [math]\displaystyle CF = \frac{AE \cdot BD}{AE + BD}[/math] è il “ponte” che risolve il problema in un solo passaggio. Essa è analoga alla relazione tra resistenze in parallelo o alla media armonica dimezzata. È utile ricordarla per esercizi di questo tipo.
Domanda di riflessione
La formula [math]\displaystyle CF = \frac{ab}{a+b}[/math] è simmetrica in [math]a[/math] e [math]b[/math]. Cosa significa dal punto di vista geometrico? Perché la soluzione per [math]b[/math] è unica?
Esercizio 3 (livello eroe)
Testo
Nel solito semicerchio di centro [math]O[/math], raggio [math]r = 6[/math], con tangenti verticali in [math]A[/math] e [math]B[/math], sia [math]C[/math] un punto sul semicerchio tale che la tangente in [math]C[/math] interseca le due verticali in [math]E[/math] e [math]D[/math].
Le rette [math]AD[/math] ed [math]EB[/math] si intersecano in [math]F[/math]; la perpendicolare da [math]C[/math] ad [math]AB[/math] passa per [math]F[/math].
Sapendo che [math]CF = 2[/math], determina le lunghezze [math]AE[/math] e [math]BD[/math].
Soluzione
Passo 1 – Relazioni generali
Dalla soluzione dell’Esercizio 2 abbiamo le due relazioni fondamentali:
[math]\displaystyle r^2 = AE \cdot BD[/math], [math]\displaystyle CF = \frac{AE \cdot BD}{AE + BD}[/math].
Poniamo [math]a = AE[/math], [math]b = BD[/math]. Con [math]r = 6[/math] e [math]CF = 2[/math] otteniamo il sistema
[math]\displaystyle \begin{cases}
ab = r^2 = 36, \\
\displaystyle \frac{ab}{a+b} = 2.
\end{cases}[/math]
Sostituendo [math]ab = 36[/math] nella seconda:
[math]\displaystyle \frac{36}{a+b} = 2 \implies a+b = 18[/math].
Passo 2 – Risoluzione del sistema
Conosciamo somma e prodotto di [math]a[/math] e [math]b[/math]:
[math]\displaystyle a+b = 18[/math], [math]\displaystyle ab = 36[/math].
Quindi [math]a[/math] e [math]b[/math] sono radici dell’equazione
[math]\displaystyle t^2 – 18t + 36 = 0[/math].
Calcoliamo il discriminante:
[math]\displaystyle \Delta = 18^2 – 4 \cdot 36 = 324 – 144 = 180 = (6\sqrt{5})^2[/math].
Le radici sono
[math]\displaystyle t = \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2} = 9 \pm 3\sqrt{5}[/math].
Passo 3 – Interpretazione
Poiché [math]a[/math] e [math]b[/math] sono lunghezze positive, entrambi i valori [math]9 + 3\sqrt{5}[/math] e [math]9 – 3\sqrt{5}[/math] sono positivi (il secondo è circa [math]2,29[/math]).
Dunque le due lunghezze sono intercambiabili:
[math]AE = 9 + 3\sqrt{5}[/math], [math]BD = 9 – 3\sqrt{5}[/math]
oppure viceversa.
Passo 4 – Verifica
- Prodotto: [math](9 + 3\sqrt{5})(9 – 3\sqrt{5}) = 81 – 45 = 36 = r^2[/math].
- Somma: [math]18[/math], quindi [math]CF = 36/18 = 2[/math].
- Coerenza: poiché [math]r = 6[/math] e [math]CF = 2[/math], la condizione [math]r > 2CF[/math] è soddisfatta ([math]6 > 4[/math]), quindi le soluzioni sono reali.
Risultato
[math]\displaystyle \boxed{AE = 9 + 3\sqrt{5}, \quad BD = 9 – 3\sqrt{5}}[/math]
(a meno di scambio dei ruoli di [math]A[/math] e [math]B[/math]).
💡 Osservazione
La condizione di esistenza di soluzioni reali è [math]\Delta \ge 0[/math], che si traduce in [math]r \ge 2CF[/math]. Se [math]r < 2CF[/math], non esiste alcuna configurazione che soddisfi i dati. Questo vincolo emerge dalla geometria del problema.
Domanda di riflessione
Perché il discriminante dell’equazione quadratica impone la disuguaglianza [math]r \ge 2CF[/math]? Cosa succede geometricamente se il raggio è minore del doppio di [math]CF[/math]?
Risposte alle domande di riflessione
Esercizio 1
Quale relazione generale lega [math]AE[/math], [math]BD[/math] e [math]CF[/math]? Come si può ricavare senza rifare tutto il calcolo?
La relazione generale è
[math]\displaystyle CF = \frac{AE \cdot BD}{AE + BD}[/math].
Si ricava agevolmente osservando che, posto [math]a = AE[/math], [math]b = BD[/math], si ha:
- Il raggio [math]r[/math] soddisfa [math]r^2 = ab[/math] (lo si ottiene uguagliando le due espressioni per [math]y_C[/math]: una dal cerchio, l’altra dalla tangenza).
- Le coordinate di [math]F[/math] sono [math]\left(\frac{2ar}{a+b}, \frac{ab}{a+b}\right)[/math].
- La coordinata [math]y[/math] di [math]C[/math] è [math]\frac{2ab}{a+b}[/math].
Pertanto
[math]\displaystyle CF = \frac{2ab}{a+b} – \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{a+b}[/math].
Questa formula è molto utile perché riduce il problema a una semplice operazione algebrica.
Esercizio 2
La formula [math]CF = \frac{ab}{a+b}[/math] è simmetrica in [math]a[/math] e [math]b[/math]. Cosa significa dal punto di vista geometrico? Perché la soluzione per [math]b[/math] è unica?
La simmetria riflette il fatto che il problema è invariante se si scambiano i ruoli di [math]A[/math] e [math]B[/math] (e quindi di [math]E[/math] e [math]D[/math]).
La soluzione per [math]b[/math] è unica perché, fissati [math]a[/math] e [math]CF[/math], l’equazione
[math]\displaystyle CF = \frac{ab}{a+b}[/math]
è lineare in [math]b[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
CF(a+b) &= ab \\
CFa + CFb &= ab \\
b(a – CF) &= aCF \\
b &= \frac{aCF}{a – CF},
\end{aligned}[/math]
purché [math]a \neq CF[/math]. Se [math]a = CF[/math], l’equazione diventa impossibile (infatti si avrebbe [math]CF = \frac{CF \cdot b}{CF + b} \Rightarrow CF + b = b \Rightarrow CF = 0[/math], assurdo). Quindi la soluzione è sempre unica quando esiste.
Esercizio 3
Perché il discriminante dell’equazione quadratica impone la disuguaglianza [math]r \ge 2CF[/math]? Cosa succede geometricamente se il raggio è minore del doppio di [math]CF[/math]?
Dalle relazioni [math]ab = r^2[/math] e [math]a + b = r^2 / CF[/math] (perché [math]ab/(a+b) = CF[/math]), le radici [math]a, b[/math] esistono reali se e solo se
[math]\displaystyle \begin{aligned}
(a+b)^2 – 4ab &\ge 0 \\
\left(\frac{r^2}{CF}\right)^2 – 4r^2 &\ge 0.
\end{aligned}[/math]
Dividendo per [math]r^2 > 0[/math]:
[math]\displaystyle \frac{r^2}{CF^2} – 4 \ge 0 \implies r^2 \ge 4CF^2 \implies r \ge 2CF[/math].
Geometricamente, [math]CF[/math] è la distanza verticale tra [math]C[/math] e [math]F[/math]. Se il raggio è troppo piccolo rispetto a [math]CF[/math], il punto [math]C[/math] non può essere abbastanza alto sul cerchio per soddisfare la condizione di tangenza; la configurazione diventa impossibile. In altre parole, per un dato raggio, [math]CF[/math] non può superare la metà del raggio stesso.
Perché questo problema è speciale (e dove lo ritroviamo nella realtà)
Se vi soffermate sul risultato generale che abbiamo appena sfiorato, c’è un dettaglio affascinante. La distanza [math]CF[/math] dipende dalle due tangenti esterne [math]AE[/math] e [math]BD[/math] secondo questa proporzione:
[math]\displaystyle CF = \frac{AE \cdot BD}{AE + BD}[/math]
Se questa formula vi ricorda qualcosa, avete ragione.
In matematica, questa è esattamente la metà della media armonica tra due grandezze.
Ma l’aspetto più interessante è che si tratta della stessa identica equazione che i fisici o gli elettricisti usano per calcolare la resistenza equivalente di due resistori messi in parallelo.
Se avete una resistenza da [math]6 \, \Omega[/math] e una da [math]3 \, \Omega[/math] in un circuito elettrico, la resistenza totale sarà esattamente di [math]2 \, \Omega[/math]. È lo stesso calcolo geometrico che governa la nostra altezza [math]CF[/math]!
Inoltre, questo schema geometrico ricorda il celebre “problema delle scale incrociate” in un vicolo.
Questa è la bellezza nascosta della matematica: un’equazione trovata calcolando le tangenti a un cerchio è la stessa che fa funzionare l’impianto elettrico di casa vostra.
Perché funziona? Una spiegazione qualitativa
Ti sei mai chiesto perché emerga proprio questa formula e non, ad esempio, una semplice media aritmetica?
Proviamo a capirlo senza usare i numeri, facendo un piccolo esperimento mentale.
Immagina di far crescere a dismisura la tangente di sinistra ([math]AE[/math]), facendola tendere all’infinito, ma di mantenere fissa e “piccola” la tangente di destra ([math]BD[/math]).
Visivamente, man mano che [math]AE[/math] si allunga verso l’alto, la retta tangente nel punto [math]C[/math] si inclina sempre di più. Eppure, il punto [math]F[/math] (l’incrocio delle nostre diagonali) non schizzerà verso l’alto all’infinito. Al contrario, la sua altezza [math]CF[/math] verrà “dominata” dal segmento più corto.
Se [math]AE[/math] diventasse infinitamente grande, l’altezza [math]CF[/math] si schiaccerebbe fino a coincidere quasi esattamente con l’altezza del segmento più piccolo ([math]BD[/math]).
Conferma matematica del limite
In termini matematici,
[math]\displaystyle \lim_{AE \to \infty} \frac{AE \cdot BD}{AE + BD} = BD[/math].
Il limite conferma rigorosamente ciò che l’intuizione suggerisce: quando una tangente diventa enormemente più lunga dell’altra, è quella più corta a determinare praticamente tutta la geometria del problema.
È esattamente questo comportamento asintotico a richiamare la media armonica: ogni volta che in un sistema c’è un elemento che fa da “collo di bottiglia” o da “tappo” (come una resistenza più piccola in un circuito elettrico o un tubo più stretto in un impianto idraulico), il risultato complessivo non è una via di mezzo democratica, ma viene dominato in modo schiacciante dall’elemento più debole o più corto.
📚 La circonferenza nel piano cartesiano ed esercizi svolti
Vuoi consolidare la geometria analitica della circonferenza? Ecco una raccolta di guide teoriche ed esercizi svolti che affrontano tutti i principali casi, dai problemi fondamentali ai temi d’esame.
👉La circonferenza nel piano cartesiano: risoluzione di esercizi con metodo geometrico e analitico
👉Equazione della circonferenza: 6 esercizi svolti e spiegati passo passo
👉Esercizi svolti di geometria analitica: la circonferenza (Parte I)
👉Esercizi svolti di geometria analitica: la circonferenza (Parte II)
👉Circonferenza e Teorema di Pick: esercizi svolti e temi d’esame
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