Indice
Trovare centro e raggio di una circonferenza
Se abbiamo una circonferenza in forma normale, di equazione
x2 + y2+ ax + by + c = 0
allora il centro e il raggio sono dati da:
ESERCIZIO 1:
Trova centro e raggio della circonferenza di equazione x2 + y2 + 3x -5y -11 = 0.
SOLUZIONE
Per poter applicare le opportune formule la circonferenza deve essere in forma normale, ovvero con il coefficiente dei termini di secondo grado uguale ad uno.
Dividiamo per due l’equazione e poi applichiamo le formule:
Per trovare il raggio, se sappiamo già le coordinate del centro, è meglio usare direttamente la seconda espressione prima indicata.
ESERCIZIO 2:
Trova centro e raggio della circonferenza di equazione x2 + y2 + 3x – 6 = 0.
SOLUZIONE
In questo caso il raggio ha un valore immaginario e la circonferenza si dice degenere.
Posizione reciproca tra circonferenza e retta
Una retta, rispetto ad una circonferenza, può essere esterna, tangente o secante.
Se prendiamo un sistema con l’equazione della circonferenza e della retta otteniamo un’equazione di secondo grado in x o y il cui ∆ ci fornisce informazioni sul numero di soluzioni.
Oppure possiamo riferirci alla distanza tra il centro della circonferenza e la retta.
1. Esterna. Se la retta è esterna non ci sono punti di intersezione tra retta e circonferenza.
Il sistema formato dalle equazioni delle due figure non ha soluzioni e ∆ < 0.
La distanza della retta dal centro è maggiore del raggio: dCr > R.
2. Tangente. Se la retta è tangente c’è un solo punto di intersezione tra retta e circonferenza.
Il sistema formato dalle equazioni delle due figure ha una sola soluzione e ∆ = 0.
La distanza della retta dal centro è uguale al raggio: dCr = R.
3. Secante. Se la retta è secante ci sono due punti di intersezione tra retta e circonferenza.
Il sistema formato dalle equazioni delle due figure ha due soluzioni distinte e ∆ > 0.
La distanza della retta dal centro è minore del raggio: dCr < R
ESERCIZIO 3 prova tu:
Trova la posizione reciproca tra la retta y = 2x + 7 e la circonferenza x2 + y2 − 3 x+ 1 = 0 e gli eventuali punti di intersezione.
Circonferenza dato centro e raggio
Una circonferenza di centro C(x0;y0) e raggio r ha equazione:
ESERCIZIO 4:
Trova l’equazione della circonferenza di centro C (−2; 3) e raggio r = 4.
SOLUZIONE
Immediatamente scriviamo:
Circonferenza dati un punto e il centro
Per trovare la circonferenza ci manca il raggio: è la distanza tra il punto dato A(xA,yA) e il centro C(x;y).
ESERCIZIO 5:
Trova la circonferenza passante per il punto P(−2, 5) e con il centro C(2;−3).
SOLUZIONE
Il raggio della circonferenza è la distanza tra i due punti dati:
Circonferenza dati due punti diametralmente opposti
Se i punti A e B che abbiamo sono diametralmente opposti allora il centro della circonferenza è il punto medio tra A e B:
ESERCIZIO 5:
Trova la circonferenza passante per i punti A(−3; 2) e B(−1; 7), sapendo che sono gli estremi di un diametro.
SOLUZIONE
Il centro ha come coordinate:
Esercizi svolti di geometria analitica.La circonferenza. Tutti i casi possibili. (II Parte)
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