Esercizi svolti di geometria analitica.La circonferenza. Tutti i casi possibili. (II Parte)

👉 Esercizi svolti di geometria analitica.La circonferenza. Tutti i casi possibili. (I Parte)

Circonferenza passante per tre punti non allineati

L’equazione generale di una circonferenza x² + y² + ax+ by+ c = 0 dipende da tre parametri indipendenti (a, b e c). Per trovarli possiamo costruire un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b e c, imponendo il passaggio della circonferenza per i tre punti.
Se i punti hanno coordinate A(x_A;y_A), B(x_B;y_B) e C(x_C;y_C) possiamo scrivere:

ESERCIZIO 1:

Trova l’equazione della circonferenza passante per il punti A(1;−3), B(4; 5) e C(6;−2).

SOLUZIONE

Imponiamo il passaggio della circonferenza per i punti dati:

Circonferenza di centro dato e tangente ad una retta

Per trovare la circonferenza ci manca il raggio: è la distanza tra la retta tangente e il centro della circonferenza.

ESERCIZIO 2:

Trova la circonferenza tangente alla retta x − 5y+ 2 = 0 e di centro C(−2; 4).

SOLUZIONE

Il raggio della circonferenza è la distanza del centro dalla retta:

Circonferenza passante per due punti e con il centro su una retta

L’equazione generale di una circonferenza x² + y²+ ax + by + c = 0 dipende da tre parametri indipendenti (a, b e c). Per trovarli possiamo costruire un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b e c. I punti hanno coordinate A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B); la retta ha equazione dx + ey + f = 0. Due equazioni le troviamo imponendo il passaggio della circonferenza per i due punti. La terza la troviamo imponendo che le coordinate del centro C(x0;y) della circonferenza stiano sulla retta ovvero che le coordinate del centro soddisfano l’equazione della retta.

ESERCIZIO 3:

Trova la circonferenza passante per il punti A(2; 3) e B(−1; 1) e avente centro sulla retta 2x − 4y + 1 = 0.

SOLUZIONE

La circonferenza generica da trovare ha equazione x2 +y2 + ax+ by+ c = 0 e il centro ha coordinate (−a/2;-b/2).
Imponiamo il passaggio della circonferenza per i due punti e il passaggio della retta per il centro.

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