La circonferenza nel piano cartesiano. Esercizi svolti

Esercizio 1

Si trovi l’equazione della circonferenza di centro C e raggio R nei casi seguenti:
a) C(1,2), R = 4 ; 

b) C(-1,2), R = 4 ;

c) C(0,1), R = 3.

Soluzione

a)

(x -1)²+(y -2)² = 16

b)

(x+1)²+(y-2)² = 16

c)

x²+(y-1)² = 9.

Esercizio 2

Si scriva l’equazione della circonferenza di centro C passante per A(1;1) in ciascuno dei casi seguenti:
a) C(1,2) ;

b) C(-1,2) ;

c) C(0,1).

Soluzione

Il raggio R della circonferenza e uguale alla distanza d(C,A), e quindi R² = d(C,A)².

Si ha:

a)

d(C,A)² = (1-1)²+(2-1)² = 1, e quindi l’equazione è

(x -1)²+(y -2)² = 1

b)

d(C,A)²= (-1-1)²+(2-1)²= 5, e quindi l’equazione è

(x+1)²+(y -2)² = 5

c)

d(C,A)² = (-1)²+(1 -1)² = 1, e quindi l’equazione è

x²+(y -1)² = 1

Esercizio 3

Si trovino centro e raggio delle seguenti circonferenze:

a) x²+y² – 2x+4y -1 = 0
b) 2x²+2y² – 3x+5y = 0
c) 3x²+3y²– 6x+9y -10 = 0

Soluzione

a)

L’equazione si può scrivere (x -1)²+(y+2)² = 6, e pertanto il centro è C(1,-2) e il raggio è R =√6.

b)

L’equazione si può scrivere

c)

L’equazione si può scrivere

Esercizio 4

Si stabilisca per quali h ∈ R l’equazione: x²+y²-2hy+10 = 0 rappresenta una circonferenza.

Soluzione

Completando i quadrati l’equazione diventa:

x²+(y-h)² = h²-10

Pertanto si ottiene una circonferenza se e solo se h² > 10, cioè se e solo se h >√10 oppure h < -√10.

Esercizio 5

Sia r la retta di equazione x -y+ 1 = 0 e sia Γ la circonferenza di centro C(1,-3) e raggio 5.

a) Si determini la posizione reciproca di r e Γ ;
b) si calcolino le coordinate degli eventuali punti comuni.

Soluzione

a)

Si ha:

e pertanto la retta è secante rispetto a Γ.

b)

I punti comuni si trovano risolvendo il sistema:

Esercizio 6

Date le circonferenze Γ₁ :· (x -1 )²+(y -2)² = 3 e Γ₂: (x -2)²+y² = 2 ,
a) si determini la loro posizione reciproca;
b) si trovi l’asse radicale di Γ₁ e Γ₂ .

Soluzione

a)
Risulta
Γ1 ha centro C₁(1,2) e raggio R₁ = √3,
Γ2 ha centro C₂(2,0) e raggio R₂ = √2.

Le due circonferenze sono secanti.

b)

Le equazioni delle circonferenze si possono scrivere

Γ1: x²+y² – 2x – 4y+2 = 0
Γ2: x²+y² – 4x+2 = 0

e l’equazione dell’asse radicale si ottiene sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima.

Si ottiene:

2x – 4y = 0,
ovvero
x – 2y = 0.

Esercizio 7

Si trovino i punti comuni alle circonferenze Γ1, Γ2 dell’esercizio precedente.

Soluzione

E’ sufficiente intersecare una delle due circonferenze con l’asse radicale già trovato.

Si ottiene il sistema

Esercizio 8

Data la circonferenza Γ di equazione x²+y² -8y= 0, si trovino le rette parallele a r: x+y = 0 che tagliano su Γ un segmento di lunghezza 2.

Soluzione

Γ ha centro C(0,4) e raggio R = 4; le rette cercate devono avere da C distanza d tale che d²+1 = 16, cioè d² = 15.

Poichè la generica parallela a r ha equazione x+y = h

e

 

 

(1970)

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