Calcolo integrale. Esercizi risolti

Esercizio 1

Si determini il valore (se ben definito) del seguente integrale generalizzato:

Soluzione

Si ha:

Gli integrali impropri

Esercizio 2

Si consideri la funzione f il cui grafico è riportato di seguito e si supponga che f sia di classe C¹ negli intervalli in cui essa appare liscia.

Sia:

Per ciascuna delle seguenti affermazioni si dica se essa è vera o falsa.

(i) F è decrescente nell’intervallo (2,3).
(ii) F ” è negativa nell’intervallo (3,+∞).
(iii) F’ è crescente nell’intervallo (2,3).
(iv) F è negativa nell’intervallo (2,+∞).
(v) lim_x→+∞ F(x) = 0.
(vi) Non esiste lim_x→+∞ F(x) = 0.
(vii) lim_x→+∞ F(x) < 0

Soluzione

Si ricordi che, per il Teorema fondamentale del calcolo, si ha F ‘(x) = f (x) per ogni x ∈ (0,+∞).

Teorema (fondamentale del calcolo integrale):

La funzione integrale F(𝑥) di una funzione 𝑓(𝑥) continua in 𝑎, 𝑏 e derivabile in 𝑎, 𝑏 è la sua derivata è 𝑓(𝑥).

(i) Vero, poiché F ‘(x) < 0 per ogni x ∈ (2,3).
(ii) Falso, F ”(x) = f ‘(x) > 0 per ogni x ∈ (3,+∞).
(iii) Vero, poiché f è (strettamente) crescente in (2,3).
(iv) Vero: f è negativa in (2,+∞), quindi tale è anche

per ogni x > 2.
(v) Falso (vedi sotto).
(vi) Falso (vedi sotto).
(vii) Vero: il limite esiste per la seguente:

Sia f : [a,+∞) → R (rispettivamente f : (−∞,b] → R) tale che:
(i) f è integrabile su ogni intervallo [a,b];
(ii) esiste M > a (rispettivamente m < b) tale che f (x) ≥ 0 oppure f (x) ≤ 0 per ogni x ≥ M (rispettivamente per ogni x ≤ m).

Allora il limite che definisce l’integrale generalizzato esiste certamente, poiché la funzione

risulta monotona nell’intervallo [M,+∞) (analogamente la funzione

risulta monotona nell’intervallo (−∞,m]).

Dunque f è integrabile in senso generalizzato su [a,+∞) (rispettivamente su (−∞,b]).

Precisamente F è monotona strettamente decrescente in (2,+∞), poiché f è negativa in tale intervallo. Poiché F(2) = 0, ne consegue che il limite (che abbiamo stabilito esistere) è strettamente negativo.

Esercizio 3

Si calcoli il valore di

Soluzione

Integrando per sostituzione con

si ottiene:

Esercizio 4

Si dica se la funzione:

è integrabile sull’intervallo [e, e²] e, in caso affermativo, si determini il segno di

Soluzione

f è continua su [e, e²], quindi integrabile. Inoltre essa è strettamente positiva su tale intervallo, quindi anche

è strettamente positiva.

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