Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze
(1+k)x2 + (1 + k)y2 – 12x – 4(1+k)y = 0
Con k € R, determinare il valore di k per cui si ottiene :
a) la circonferenza passante per (–1, –1)
b) la circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x + 2y = 0
c) la circonferenza che ha il centro sulla retta x + y + 4 = 0
d) la circonferenza che ha il raggio pari a √5.
Soluzione
a)
x2+ kx2+ y2+ ky2– 12x – 4y – 4ky = 0
⇒ x2+ y2– 12x – 4y + k (x2+ y2– 4y) = 0
Quindi per capire la natura del fascio:
y ( y – 4 ) = 0 ammette due soluzioni reali e distinte y = 0 e y = 4 (punti base dell’asse radicale):
è un fascio di circoli secanti e la circonferenza passante per P(–1, –1) ha per il valore di k pari a:
Nota bene:
k ≠ –1 perché se k = 1 si otterrebbe l’equazione di una retta o meglio l’equazione della retta coincidente con la circonferenza degenere del
fascio che ha raggio infinito.
b)
da questa equazione l’unico valore accettabile per il parametro k è k – 1= 0 cioè k = 1, questo per lo stesso motivo già discusso nel punto precedente.
c)
(1 + k)x2 + (1 + k)y2 – 12x – 4(1 + k)y = 0
dividiamo per k +1≠ 0 ottenendo
la caratteristiche di questa circonferenza è che il suo centro di coordinate:
deve appartenere alla retta x + y + 4 = 0, cioè deve soddisfarne l’equazione, cioè
d)
analogamente al punto precedente dell’equazione (*) ci interessa il raggio il cui valore è dato da:
il valore del raggio è dato da r = √5, ⇒ uguagliando avremo il valore del parametro cercato
(1958)