Geometria Analitica. Fasci di circonferenze. Esercizio svolto

Esercizio

Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze

(1+k)x² + (1 + k)y² – 12x – 4(1+k)y = 0

Con k € R, determinare il valore di k per cui si ottiene :
a) la circonferenza passante per (–1, –1)
b) la circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x + 2y = 0
c) la circonferenza che ha il centro sulla retta x + y + 4 = 0
d) la circonferenza che ha il raggio pari a √5.

Soluzione

 

a)

x²+ kx²+ y²+ ky²– 12x – 4y – 4ky = 0
⇒ x²+ y²– 12x – 4y + k (x²+ y²– 4y) = 0

Quindi per capire la natura del fascio:

y ( y – 4 ) = 0 ammette due soluzioni reali e distinte y = 0 e y = 4 (punti base dell’asse radicale):
è un fascio di circoli secanti e la circonferenza passante per P(–1, –1) ha per il valore di k pari a:

Nota bene:

k ≠ –1 perché se k = 1 si otterrebbe l’equazione di una retta o meglio l’equazione della retta coincidente con la circonferenza degenere del
fascio che ha raggio infinito.

b)

da questa equazione l’unico valore accettabile per il parametro k è k – 1= 0 cioè k = 1, questo per lo stesso motivo già discusso nel punto precedente.

c)

(1 + k)x² + (1 + k)y² – 12x – 4(1 + k)y = 0

dividiamo per k +1≠ 0 ottenendo

la caratteristiche di questa circonferenza è che il suo centro di coordinate:

deve appartenere alla retta x + y + 4 = 0, cioè deve soddisfarne l’equazione, cioè

d)

analogamente al punto precedente dell’equazione (*) ci interessa il raggio il cui valore è dato da:

il valore del raggio è dato da r = √5, ⇒ uguagliando avremo il valore del parametro cercato

 

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