Trasformazioni nel piano

Esercizio 1

Le rette r: 2x-y+2 = 0, s: x+y-5 = 0 possono essere considerate come asse X e asse Y di un riferimento O’XY ottenuto da Oxy con una
rototraslazione?

Soluzione

No, perchè non sono ortogonali.

Esercizio 2

Sia data il punto P(l,2) in un riferimento Oxy e sia data un altro riferimento O’XY traslato rispetto al primo. Sapendo che le coordinate di P nel nuovo riferimento sono (5,4) si trovino le equazioni della traslazione.

Soluzione

Le equazioni della traslazione sono del tipo

Sostituendo (1,2) al posto di (x,y) e (5,4) al posto di (X,Y) si possono ricavare a e b.

Le equazioni della traslazione sono:

Isometrie

Definizione

L’isometria è una trasformazione affine che conserva le distanze. Dati due punti A, B l’isometria fa ad essi corrispondere i punti A’ e B’ tali che AB = A’B’. Pertanto le figure trasformate conservano la forma e la grandezza e dunque risultano congruenti a quelle date.

Sono isometrie le:

• Traslazioni
• Rotazioni
• Simmetrie centrali ed assiali.

Traslazioni

Nella geometria euclidea, una traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

Esercizio 3

Data la retta:

si trovi l’equazione di r nel riferimento O’XY in cui 0′(1,2) e la coppia di assi XY e ottenuta dalla coppia di assi xy mediante una rotazione antioraria di π/3.

Soluzione

L’equazione cartesiana di r è 2x-y+l = 0.

Le equazioni del cambiamento di riferimento Oxy → O’XY sono:

Si ha dunque, sostituendo nell’equazione di r :

Rotazioni

Un’altra trasformazione che mantiene invariate tutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto. Per definire una rotazione è necessario che siano dati:

• Un punto, detto centro di rotazione
• L’ampiezza dell’angolo di rotazione
• Il verso di rotazione (orario o antiorario)

Teorema: la rotazione è un’isometria
La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente.

Valgono le seguenti proprietà:

• Il solo punto unito è il centro di rotazione
• Non esistono rette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto
• La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità

La rotazione ha i seguenti invarianti:

• L’allineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• Il parallelismo
• L’ampiezza degli angoli
• Il rapporto tra segmenti
• L’orientamento dei punti del piano

Esercizio 4

Siano dati la retta r: x+y = 0 e il punto P(1,2) rispetto al riferimento Oxy. Esiste un riferimento O’XY, ottenuto dal precedente con una rototraslazione, nel quale P abbia coordinate (3,5) ed r abbia equazione X -Y +2 = 0, dove X – Y + 2 è il trasformato di x+y ?

Soluzione

Basta osservare che P(1,2) dista 3/√2 da r , mentre nel nuovo riferimento il punto (3,5) dista 0 da X-Y +2 = 0, cioè sta sulla retta X-Y +2 = 0. Il problema non ha pertanto soluzioni.

Soluzione alternativa. (utile perchè insegna a lavorare con i cambiamenti di riferimento).

Deve aversi:

Sostituendo nell’equazione di r deve risultare:

X cosφ -Ysinφ+a+X sinφ + Ycosφ +b = X-Y +2

ossia, uguagliando i coefficienti di X,Y e i termini noti:

Sostituendo nelle (1) le coordinate di P rispetto ai due riferimenti si trova:

Occorre allora risolvere il seguente sistema nelle incognite a,b,φ:

Dalle prime due equazioni si ricava cosφ = 0 e quindi sinφ = ±1.
Dalle ultime due si ricava allora: a = 6 oppure a = -4, e b = -1 oppure b = 5. Ma ciò non è compatibile con la terza equazione, e pertanto la risposta al quesito e negativa.

Esercizio 5

Nel sistema di riferimento Oxy sono dati il punto A(2,3), la retta r: x+2y = 0, e la circonferenza Γ: x²+y²+2x-4y = 0. Sia Oxy ➔ O’XY la traslazione con 0′(2,-3). Si trovino le coordinate di A e le equazioni di r e di Γ rispetto al sistema O’XY.

Soluzione

Le equazioni della traslazione sono:

Sostituendo al posto di x e y le coordinate di A si trova

2 = X+2,    3 = Y-3

 

da cui X = 0, Y = 6.

Le coordinate di A rispetto al sistema O’XY sono quindi (0,6).

Sostituendo le espressioni di x e y nell’equazione di r si trova:

(X+2)+2(Y-3) = 0, cioè X+2Y-4 = 0

L’equazione di r rispetto al sistema O’XY è quindi X+2Y-4 = 0.

Sostituendo le espressioni di x e y nell’equazione di Γ si trova:

(X+2)²+(Y-3)²+2(X+2) – 4(Y-3) = 0

L’equazione di Γ rispetto al sistema O’XY e quindi

X²+ Y²+6X-10Y +29 = 0

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