Verificare che il quadrilatero di vertici A(−2; 1), B(−2; −4), C(1; 0), D(0; 2) è circoscrivibile a una circonferenza.
Soluzione
Un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza, se la somma dei lati opposti è uguale,
cioè se AB + CD = BC + AD; pertanto
il quadrilatero sarà circoscrivibile.
Esercizio 2
Dato il triangolo ABC di vertici A(√3;1), B(√3;5), C (3√3;3), verificare che è equilatero.
Determinare il perimetro, l’area del triangolo, il centro e il raggio della circonferenza inscritta e di quella circoscritta allo stesso triangolo.
Soluzione
Un triangolo è equilatero, se le lunghezze di tutti i lati sono uguali;
il triangolo è quindi equilatero. Il perimetro e l’area valgono
(sapendo che l’altezza di un triangolo equilatero è sempre h =l√3/2).
Il centro della circonferenza inscritta, intersezione delle bisettrici, e circoscritta, intersezione degli assi, coincidono, e coincidono anche con il baricentro, centro delle mediane, pertanto:
Il raggio della circonferenza circoscritta è pari ai due terzi dell’altezza, cioè
il raggio della circonferenza inscritta è un terzo dell’altezza, cioè
Esercizio 3
Dati i punti A(1; 2) e B(−2; 0), determinare il punto P dell’asse x equidistante dai due punti dati.
Soluzione
Se il punto P è equidistante, allora
AP = P B
Traduciamo tale relazione nel linguaggio del piano cartesiano:
questa relazione presenta due incognite, che però si possono ricondurre ad una, osservando che il punto cercato appartiene all’asse x e che quindi la sua ordinata è nulla.
Esercizio 4
Determinare i punti dell’asse x aventi distanza uguale a 2√2 dal punto A (2; −2).
Soluzione
I punti che appartengono all’asse x sono caratterizzati dall’avere il valore dell’ordinata nulla, cioè y = 0;
si potranno pertanto indicare come P (x; 0), cioè mediante una sola incognita.
Scriviamo ora la relazione che rappresenta l’equidistanza dal punto A:
Esercizio 5
Determinare le coordinate dei punti aventi ascissa tripla dell’ordinata e aventi distanza uguale a √13 dal punto A (−2; −3).
Soluzione
Le coordinate dei punti si possono indicare, assegnando ad x il valore della loro ordinata, come
P (3x; x)
Calcoliamo ora la distanza P A, ottenendo l’equazione le cui soluzioni daranno i punti cercati:
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