Leggi di capitalizzazione. Regime di capitalizzazione semplice. Esercizi svolti

Richiami di teoria.

Cos’è il montante

Siano C un capitale versato o riscosso al tempo t = 0 ed M(t) la somma ottenuta alla scadenza t relativa a tale capitale. La somma M viene indicata con il termine montante ed è equivalente alla seguente espressione:

M = C + I

dove C rappresenta il capitale investito ed I gli interessi maturati sul capitale nel periodo (0, t), ovvero la remunerazione richiesta per lasciare investito il capitale anzichè utilizzarlo in maniera differente.

Legge di capitalizzazione

Si definisce legge di capitalizzazione e si indica con f(t) la legge che esprime il montante ottenuto al tempo t di un capitale unitario investito al tempo 0. La funzione M(t) quindi dipende dalla formulazione matematica del fattore di capitalizzazione f(t):

M(t) = C · f(t)

Il fattore di montante, affinchè M(t) sia una legge di capitalizzazione deve verificare le seguenti proprietà:
i) f(t) è definito ∀ 0 ≤ t ≤ T
ii) f(0) = 1
iii) f(t) è non decrescente

Legge di attualizzazione

Si definisce legge di attualizzazione e si indica con v(t) la legge che esprime il capitale investito al tempo 0 corrispondente ad un montante unitario al tempo t. La relazione che lega, quindi, capitale, montante e fattore di attualizzazione è la seguente:

C = M · v(t) 

Due regimi f e v, rispettivamente di capitalizzazione e di attualizzazione, si dicono coniugati se

f(t) · v(t) = 1 ∀ t ≥ 0.

Regimi notevoli

Varie sono le funzioni matematiche che possono esprimere una legge di capitalizzazione f(t) e le rispettive leggi di attualizzazione v(t). I regimi più noti sono: regime semplice, composto e sconto commerciale.

Regime di capitalizzazione semplice

La legge di capitalizzazione semplice si basa sul presupposto che il montante di un capitale sia incrementato, al variare della scadenza t, con andamento lineare.

La sua formulazione matematica è:

f(t) = 1 + i · t, t ≥ 0

da cui

M(t) = C · (1 + i · t)

Esercizio 1

Calcolare il montante ad interesse semplice dei seguenti capitali:

a) € 500, tasso annuo 4, 25% per tre anni
b) € 1300, tasso annuo 6, 7% per cinque mesi
c) € 600, tasso annuo 5, 8% per 70 giorni
d) € 800, tasso annuo 6, 20% per 1 anno e 4 mesi

soluzione

I montanti si ottengono mediante l’applicazione della formula M(t) = C · (1 + i · t ) tenendo presente che i tassi dell’esercizio sono annui, quindi è necessario esprimere il tempo sempre in funzione di frazioni di anno. 

Esercizio 2

Quattro anni fa tizio concesse in prestito la somma di € 600 al tasso annuo del 7%. Inoltre egli concesse ancora in prestito, due anni e 5 mesi fa, la somma di € 1400 al tasso annuo dell’ 8, 2%. Determinare quale montante complessivo tizio incassa oggi.

soluzione

La somma complessiva che tizio incassa oggi è data dalla capitalizzazione delle due somme, rispettivamente per quattro anni e 2 anni e cinque mesi, dei due prestiti concessi.

In formule:

Esercizio 3

Calcolare quale capitale impiegato ad interesse semplice al tasso annuo del 6, 8% per due anni e tre mesi, produce un interesse di € 81.090.

soluzione

L’interesse prodotto da un capitale è:

I = C · i · t

da cui si ricava:

Esercizio 4

Calcolare a quale tasso annuo è stato impiegato il capitale di € 7600, sapendo che l’interesse semplice maturato per cinque anni è di € 2185.

soluzione

Utilizzando la stessa formula dell’esercizio precedente per il calcolo dell’interesse si ha:

Esercizio 5

Un capitale di 5000 € viene impiegato ad un regime di interesse semplice per 18 mesi. Determinare a quale tasso annuo di interesse il montante prodotto è uguale ai 7/6 del capitale impiegato.

soluzione

Applicando la formula:

M(t) = C · (1 + i · t )

si ha :

e con semplici calcoli si giunge alla soluzione i =1/9 = 11, 111%.

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