TEOREMA DI ROLLE

Sia f(x) una funzione definita nell’intervallo chiuso [a,b] che abbia le seguenti proprietà:

• continua nell’intervallo chiuso [a,b], cioè estremi compresi;
• derivabile nell’intervallo aperto, cioè esclusi gli estremi, (a,b)
• assume lo stesso valore se la si calcola negli estremi dell’intervallo → f(a) = f(b)

Se tutte e tre le ipotesi sono verificate, esiste almeno un punto c, interno all’intervallo [a,b], nel quale si annulla la derivata prima della funzione, cioè: f'(c) = 0 → la derivata prima della funzione calcolata nel punto c è uguale  a 0.

per definizione, un punto in cui si annulla la derivata prima è detto punto stazionario, cioè potrà essere un punto di massimo o minimo per la funzione f(x).
Se la derivata prima della funziona si annulla in tutto l’intervallo considerato, la funzione sarà costante.

Questo perchè  essendo la funzione y = f(x) continua nell’intervallo chiuso [a, b], per il teorema di Weierstrass, essa ammette un massimo e un minimo assoluti. Se tali valori massimo e minimo sono assunti dalla funzione negli estremi a e b dell’intervallo, per l’ipotesi f(a) = f(b), essi sono necessariamente uguali e quindi la funzione viene ad essere costante in (a, b), ed allora la sua derivata è nulla in tutti i punti dell’intervallo.

Esercizio 1

Sia:

Il teorema di Rolle è applicabile nell’intervallo [0,2]?

Soluzione

Verifichiamo le ipotesi del teorema:

1)

La funzione deve essere continua nell’intervallo chiuso [0,2], cioè estremi compresi; per fare ciò si calcola il dominio della funzione. Essendo una funzione fratta si pone il denominatore diverso da zero.

2)

La funzione deve essere derivabile nell’intervallo aperto, cioè esclusi gli estremi, (0,2); quindi calcolo la derivata prima della funzione, e poi ne calcolo il suo dominio.

3)

f(a) = f(b) → f(0) = f(2)

Sostituisco 0 e 2 nella funzione al posto della x, e vedo se i risultati sono uguali.

Tutte e tre le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate → il teorema è applicabile.
Ora troviamo c tale per cui f'(c) = 0:

Esercizio 2

Sia:

IL TEOREMA DI ROLLE E’ APPLICABILE?

Soluzione

|x| non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle in [−1, 1], in quanto non è derivabile nel punto c = 0.

Esercizio 3

Sia:

Il teorema di Rolle è applicabile nell’intervallo [0,3]?

Soluzione

Verifichiamo le ipotesi del teorema:
1)

La funzione deve essere continua nell’intervallo chiuso [0,3], cioè estremi compresi; per fare ciò si calcola il dominio della funzione.

Essendo una funzione irrazionale con indice pari si pone il radicando maggiore da zero:

quindi : 0 ≤ x ≤ 3 , f(x) è continua in [0;3].

2)

La funzione deve essere derivabile nell’intervallo aperto, cioè esclusi gli estremi, (0,3);

quindi calcolo la derivata prima della funzione, e poi ne calcolo il suo dominio.

f”(x) esiste in (0,3) → f(x) derivabile in (0,3).

3)

f(a) = f(b) → f(0) = f(3)

Sostituisco 0 e 3 nella funzione al posto della x, e vedo se i risultati sono uguali.
f(0) = 1 e f(3) = 0

Tutte e tre le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate → il teorema è applicabile.

Ora troviamo c tale per cui f'(c) = 0.

Esercizio 4

Sia:

IL TEOREMA DI ROLLE E’ APPLICABILE?

Soluzione

La funzione è definita su tutto R, è continua e derivabile, inoltre, risulta f(-1) = f(1) = -1.
Soddisfa pertanto le ipotesi del teorema di Rolle.
Determiniamo la derivata prima ed uguagliamola a zero:

L’equazione è soddisfatta per x₁=0, x₂ =-1, x₃=1 dei quali però solo x₁=0 è interno all’intervallo assegnato e rappresenta l’unico punto che verifica la tesi del teorema.

 

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