Si trovino le rette per P(1,2) che hanno distanza 1 da Q(-1,3).
Soluzione
Le rette per P sono quelle del fascio di equazione
λ(x- 1)+µ(y-2) = 0,
ovvero
λx+µy – λ -2µ = 0
Deve risultare:
Le rette richieste sono allora quelle del fascio corrispondenti alle coppie:
(λ,µ) = (0,1) e (λ,µ)= (- 4,3).
Esse sono pertanto:
r1 : y -2 = 0
e
r2 : -4(x-1)+3(y-2) = 0
Quesito 2
Si trovino le rette parallele ad r: 2x-y+l = 0 aventi distanza 7 da P(2,- 3)
Soluzione
La generica retta parallela ad r ha equazione
2 x-y+ k = 0.
Deve aversi:
Svolgendo i calcoli si trovano le soluzioni:
e quindi le rette cercate sono:
Quesito 3
Si calcoli la distanza tra r1: x -3y -1 = 0 ed r2: 2x – 6y+7 = 0.
Soluzione
Le due rette sono evidentemente parallele.
Prendiamo un punto di r1 e ad esempio P(1,0), avremo
Quesito 4
Si scriva un’equazione del luogo dei punti del piano equidistanti da A(1,2) e B(0,4), e si verifichi che tale luogo e l’asse del segmento AB.
Soluzione
I punti P(x,y) del luogo cercato sono quelli per cui
d(P,A) = d(P,B)
ovvero
e pertanto sono quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione:
2x – 4y+11 = 0
Quindi il luogo cercato e la retta di equazione 2x -4y+11= 0.
Tale retta è ortogonale alla retta passante per A e B. Inoltre essa passa per il punto medio M( ½ ,3) del segmento AB (infatti 2.½- 4. 3 +11 = 0), ed e pertanto l’asse del segmento.
Quesito 5
Sono date le rette r: 2x-y+2 = 0, s: x+y-5 = 0. Si trovino le rette passanti per il punto comune ad r ed s, la cui intersezione con l’asse y disti 5 dall’origine.
Soluzione
Le rette cercate fanno parte del fascio di equazione
λ(2x-y+2)+µ(x+y-5) = 0.
La generica retta del fascio interseca l’asse y nel punto A le cui coordinate si trovano risolvendo il sistema:
Deve risultare:
Si ottengono le due equazioni
3λ = 0,
7λ-10µ = 0,
che portano rispettivamente alle soluzioni (λ,µ)= (0,1) e (λ,µ) = (10,7).
Le rette cercate sono quindi
r1: x+y-5 = 0 (cioè s)
r2: 27x-3y-15 = 0.
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