Cosa sono le Statistiche di sintesi

Una statistica di sintesi è una funzione dei dati che ne riassume un aspetto saliente.

Si possono suddividere in due gruppi:

• Indici di posizione
• Indici di variabilità

Un indice di posizione è un valore che rappresenta, in un qualche senso, l’insieme dei valori assunti da un carattere in un collettivo.

Un indice di variabilità è un valore che misura la tendenza di un carattere ad assumere modalità diverse su unità diverse di un collettivo.

Se il collettivo in questione è la popolazione di interesse, avremo un parametro, se il collettivo è un campione, avremo una statistica.

A cosa può servire un indice di posizione?

Per esempio a confrontare due gruppi di unità statistiche e stabilire se un carattere si manifesti “tendenzialmente allo stesso livello” nei due
gruppi: la variabilità del carattere, specie nel caso di elevate numerosità campionarie, rende il confronto tutt’altro che immediato (si pensi al caso in cui si vogliano confrontare gli scontrini emessi in due giorni diversi da un grande centro commerciale).

Un altro esempio  può essere il confronto tra i tempi di percorrenza con due diversi mezzi di trasporto su  uno stesso tragitto, avendo preso nota del tempo impiegato in un campione di giorni (es. 12 giorni metro, 12 giorni auto).
Oppure potremmo dovere decidere quanta merce (pane, vestiti, . . . ) tenere in negozio sulla base della domanda registrata nei giorni passati:
questo ci costringe a riassumere diverse osservazioni mediante un singolo valore.

 

Tra gli indici di posizione annoveriamo:

• La media aritmetica
• La media geometrica
• La media secondo Chisini
• La media troncata
• La mediana ed altri percentili
• La moda

La media troncata

Abbiamo già visto che il problema maggiore con la media aritmetica è la sua sensibilità ai valori anomali:

un singolo valore molto grande (piccolo) può determinare, al limite quasi da solo, il valore della media aritmetica.

 

Valori medi e valori estremi (e anomali)

• La media è un valore numerico, teorico e non necessariamente osservato, che rappresenta il «centro» dei dati.
• Proprio per questo la sintesi matematica della media è «sensibile» ai valori estremi e anomali.
• Tali valori sono valori all’estremo del campo di variazione o valori (minimo o massimo) molto differenti da tutti gli altri valori.
• Nel caso di presenza di valori estremi è possibile utilizzare un particolare tipo di media aritmetica detta «troncata» ;
• Tale media consiste nel ricalcolare la media avendo eliminato un porzione di frequenza ⍺ (ad esempio pari al 50%) in modo però da eliminare i valori estremi delle code (ad esempio 25% a sinistra ossia dei valori più piccoli e 25% a destra ossia dei valori più grandi).
• La scelta di troncare i valori si traduce in un «sacrificio di informazione»: si perdono infatti alcune osservazioni che vengono così escluse dall’analisi.

Esempio 

Se il proprietario di un negozio afferma che lo stipendio medio dei suoi dipendenti è pari a 37900 dollari, gli stipendi potrebbero essere
10200 10400 10700 11200 11300 1150 e 200000 dollari, dove l’ultimo stipendio è lo stipendio del figlio. . .
In questo caso la media aritmetica non è una buona sintesi del collettivo.

Media determinata da un valore anomalo

 

 Una soluzione al problema dei valori anomali è la media troncata (trimmed mean):

si scartano le osservazioni più grandi e più piccole, in una percentuale prefissata, per poi calcolare la media sulle osservazioni rimanenti.

Nell’esempio sugli stipendi la media troncata al 50% (calcolata sul 50%, circa, delle osservazioni centrali) vale

dollari ed è una buona sintesi degli stipendi pagati.

Una media troncata è indicata come una media troncata di x%, dove x è la somma della percentuale di osservazioni rimosse dai limiti superiore e inferiore.

I punti di trimming sono spesso arbitrari in quanto seguono regole pratiche piuttosto che un metodo ottimizzato per impostare tali soglie. 

Esempio

Proprio mentre stava per finire il calcolo la segretaria si ricorda di non aver considerato un dato, pertanto ricostruisce la distribuzione e ricalcola la media:

Il valore ottenuto, molto più basso degli altri, trascina verso il basso tutta la media..
Allora la segretaria decide di non considerarlo escludendolo. Il collega le suggerisce che può utilizzare una media troncata eliminando il 20% dei dati ossia 11 * 20% =2,2, eliminando pertanto il primo e l’ultimo dato, una volta però averli ordinati in ordine non decrescente, pertanto il 20 e uno dei 44…

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