Spesso percepite come uno scoglio da molti studenti, le disequazioni fratte sono in realtà un argomento affascinante dell’algebra che, una volta compreso, apre le porte a una maggiore padronanza della matematica. In questo articolo, vi accompagneremo passo dopo passo attraverso una serie di esercizi di difficoltà crescente: partiremo dalle basi, consolidando i concetti fondamentali, per poi avventurarci in scenari più complessi che includono parametri e valori assoluti. L’obiettivo è fornirvi gli strumenti e la sicurezza necessari per affrontare qualsiasi disequazione fratta con metodo e precisione.
👉Tutto quello che devi sapere sulle disequazioni
Esercizio 1 (Facile)
Risolvere: [math]\frac{x^2-1}{x+2} \geq 0[/math]
Passo 1: Fattorizzare il numeratore
Il numeratore è una differenza di quadrati: [math]x^2-1=(x+1)(x-1)[/math]
La disequazione diventa: [math]\frac{(x+1)(x-1)}{x+2} \geq 0[/math]
Passo 2: Trovare i valori che annullano numeratore e denominatore
Numeratore = 0 ⇒ [math]x=-1[/math] e [math]x=1[/math]
Denominatore = 0 ⇒ [math]x=-2[/math] (valore escluso, perché annulla il denominatore)
Passo 3: Studio del segno
Costruiamo una tabella dei segni:
| Intervallo | [math]x+1[/math] | [math]x-1[/math] | [math]x+2[/math] | Frazione |
|---|---|---|---|---|
| [math]x < -2[/math] | – | – | – | – |
| [math]-2 < x < -1[/math] | – | – | + | + |
| [math]-1 < x < 1[/math] | + | – | + | – |
| [math]x > 1[/math] | + | + | + | + |
Passo 4: Soluzione
La frazione è positiva ([math]\geq 0[/math]) quando:
[math]-2 < x \leq -1[/math] oppure [math]x \geq 1[/math]
Attenzione: [math]x=-2[/math] non è accettabile perché annulla il denominatore.
Soluzione finale: [math]-2 < x \leq -1 \lor x \geq 1[/math]
Esercizio 2 (Medio)
Risolvere: [math]\frac{x^2-4x+3}{x^2-9} \leq 0[/math]
Passo 1: Fattorizzare numeratore e denominatore
Numeratore: [math]x^2-4x+3=(x-1)(x-3)[/math]
Denominatore: [math]x^2-9=(x+3)(x-3)[/math]
La disequazione diventa: [math]\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \leq 0[/math]
Passo 2: Valori critici e condizioni di esistenza
Numeratore = 0 ⇒ [math]x=1[/math], [math]x=3[/math]
Denominatore = 0 ⇒ [math]x=-3[/math], [math]x=3[/math]
Condizione di esistenza: [math]x \neq -3[/math], [math]x \neq 3[/math]
Passo 3: Semplificare (se possibile)
Possiamo semplificare [math](x-3)[/math] (ma ricordando che [math]x \neq 3[/math]):
[math]\frac{x-1}{x+3} \leq 0[/math] con [math]x \neq 3[/math]
Passo 4: Studio del segno
| Intervallo | [math]x-1[/math] | [math]x+3[/math] | Frazione |
|---|---|---|---|
| [math]x < -3[/math] | – | – | + |
| [math]-3 < x < 1[/math] | – | + | – |
| [math]x > 1[/math] | + | + | + |
Passo 5: Soluzione
La frazione è negativa ([math]\leq 0[/math]) in [math]-3 < x \leq 1[/math], ma [math]x=3[/math] è escluso.
Soluzione finale: [math]-3 < x \leq 1[/math] con [math]x \neq 3[/math] (che è già incluso nell’intervallo)
Esercizio 3 (Difficile)
Risolvere: [math]\frac{x^2+2x-3}{x^2-5x+6} > 0[/math]
Passo 1: Fattorizzare
Numeratore: [math]x^2+2x-3=(x+3)(x-1)[/math]
Denominatore: [math]x^2-5x+6=(x-2)(x-3)[/math]
La disequazione diventa: [math]\frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x-3)} > 0[/math]
Passo 2: Valori critici
Numeratore = 0 ⇒ [math]x=-3[/math], [math]x=1[/math]
Denominatore = 0 ⇒ [math]x=2[/math], [math]x=3[/math] (esclusi)
Passo 3: Studio del segno
| Intervallo | [math]x+3[/math] | [math]x-1[/math] | [math]x-2[/math] | [math]x-3[/math] | Frazione |
|---|---|---|---|---|---|
| [math]x < -3[/math] | – | – | – | – | + |
| [math]-3 < x < 1[/math] | + | – | – | – | – |
| [math]1 < x < 2[/math] | + | + | – | – | + |
| [math]2 < x < 3[/math] | + | + | + | – | – |
| [math]x > 3[/math] | + | + | + | + | + |
Passo 4: Soluzione
La frazione è positiva ([math]> 0[/math]) quando:
[math]x < -3 \lor 1 < x < 2 \lor x > 3[/math]
Esercizio 4 – Difficile con parametro
Risolvere al variare di k ∈ ℝ la seguente disequazione razionale fratta:
[math] \frac{x^2 – kx + 1}{x^2 – 1} \geq 0 [/math]
1. Dominio
Il denominatore si annulla per:
[math] x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 [/math]
Poiché tali valori renderebbero il denominatore nullo, non sono ammessi. Il dominio è quindi:
[math] D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} [/math]
2. Studio del segno della frazione
Il numeratore è il trinomio [math] x^2 – kx + 1 [/math], il cui discriminante è:
[math] \Delta = k^2 – 4 [/math]
Analizziamo i segni della frazione in tre casi:
CASO 1: [math] k^2 – 4 < 0 \Rightarrow k \in (-2, 2) [/math]
Il numeratore è sempre positivo, essendo una parabola con concavità rivolta verso l’alto e nessuna radice reale.
Il segno della frazione coincide con quello del denominatore:
[math] x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) [/math]
Tabella dei segni del denominatore e della frazione:
- [math] x < -1 \Rightarrow (x – 1)<0, (x + 1)<0 \Rightarrow \text{positivo} [/math]
- [math] -1 < x < 1 \Rightarrow \text{denominatore negativo} [/math]
- [math] x > 1 \Rightarrow \text{denominatore positivo} [/math]
Soluzione:
[math] x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) [/math]
CASO 2: [math] k = \pm 2 [/math]
In entrambi i casi, il numeratore ha una radice doppia:
- Se [math] k = 2 \Rightarrow x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 [/math]
- Se [math] k = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 [/math]
Nel primo caso, la frazione diventa:
[math] \frac{(x – 1)^2}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{x – 1}{x + 1}, \quad x \neq \pm 1 [/math]
Nel secondo caso:
[math] \frac{(x + 1)^2}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{x + 1}{x – 1}, \quad x \neq \pm 1 [/math]
In entrambi i casi, il segno della frazione è positivo per:
[math] x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) [/math]
CASO 3: [math] k^2 – 4 > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) [/math]
Il numeratore ammette due radici reali distinte:
[math]
\begin{align*}
x_{1,2} &= \frac{k \pm \sqrt{k^2 – 4}}{2} \\
x_1 &= \frac{k – \sqrt{k^2 – 4}}{2}, \quad
x_2 = \frac{k + \sqrt{k^2 – 4}}{2}
\end{align*}
[/math]
La parabola del numeratore cambia segno: positiva agli estremi e negativa tra le radici.
La frazione è positiva dove numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.
Occorre escludere i punti [math] x = \pm 1 [/math] se compresi tra [math] x_1 [/math] e [math] x_2 [/math].
Soluzione generale in questo caso:
[math]
\begin{align*}
x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)
\quad \text{con } x \neq \pm 1
\end{align*}
[/math]
Conclusione
- Se [math] k \in (-2, 2) \cup \{-2, 2\} [/math], allora:
[math] x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) [/math]
- Se [math] k \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) [/math], allora:
[math]
\begin{align*}
x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty), \quad \text{con } x_1 = \frac{k – \sqrt{k^2 – 4}}{2}, \\
x_2 = \frac{k + \sqrt{k^2 – 4}}{2}, \quad x \neq \pm 1
\end{align*}
[/math]
Esercizio 5 (Difficile con valore assoluto)
Risolvere: [math]\frac{|x^2-4|}{x^2-x-6} \leq 0[/math]
Passo 1: Eliminare il valore assoluto
[math]|x^2-4| = \begin{cases} x^2-4 & \text{se } x \leq -2 \lor x \geq 2 \\ 4-x^2 & \text{se } -2 < x < 2 \end{cases}[/math]
Passo 2: Risolvere i due casi
Caso [math]x \leq -2 \lor x \geq 2[/math]:
La disequazione diventa: [math]\frac{x^2-4}{x^2-x-6} \leq 0[/math]
Fattorizzando: [math]\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \leq 0 \Rightarrow \frac{x-2}{x-3} \leq 0[/math] (con [math]x \neq -2[/math])
Studio del segno di [math]\frac{x-2}{x-3}[/math] porta a [math]2 \leq x < 3[/math].
Considerando la condizione iniziale [math]x \leq -2 \lor x \geq 2[/math], la soluzione per questo caso è [math]2 \leq x < 3[/math] (e [math]x \neq -2[/math], che è già escluso dall’intervallo finale).
Caso [math]-2 < x < 2[/math]:
La disequazione diventa: [math]\frac{4-x^2}{x^2-x-6} \leq 0[/math]
Fattorizzando: [math]\frac{(2-x)(2+x)}{(x-3)(x+2)} \leq 0 \Rightarrow \frac{2-x}{x-3} \leq 0[/math] (con [math]x \neq -2[/math])
Studio del segno di [math]\frac{2-x}{x-3}[/math] porta a [math]x \leq 2 \lor x > 3[/math].
Considerando la condizione iniziale [math]-2 < x < 2[/math], la soluzione per questo caso è [math]-2 < x < 2[/math] (perché [math]\frac{2-x}{x-3} \leq 0[/math] in questo intervallo).
Passo 3: Unione delle soluzioni
Unendo le soluzioni dei due casi: [math]-2 < x < 2 \lor 2 \leq x < 3[/math]
Soluzione finale: [math]-2 < x < 3[/math]
Esercizio 6 (Molto difficile con parametro)
Risolvere al variare di [math]m[/math]: [math]\frac{(m-1)x^2+2x+1}{x^2+mx+1} > 0[/math]
Passo 1: Analisi del denominatore
Il denominatore [math]x^2+mx+1[/math] deve essere [math]\neq 0[/math].
Discriminante: [math]\Delta = m^2-4[/math]:
Se [math]|m| < 2[/math], il denominatore è sempre positivo.
Se [math]|m| \geq 2[/math], il denominatore si annulla in due punti.
Passo 2: Analisi del numeratore
Se [math]m=1[/math], il numeratore è lineare: [math]2x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/2[/math].
Se [math]m \neq 1[/math], il numeratore è quadratico e va studiato il segno in base a [math]m[/math] e al suo discriminante [math]\Delta_n = 2^2 – 4(m-1)(1) = 4 – 4m + 4 = 8 – 4m[/math].
Soluzione generale:
Dipende dal valore di [math]m[/math] e richiede un’analisi per casi molto dettagliata, considerando i segni del numeratore e del denominatore, le loro radici (in funzione di [math]m[/math]), e i punti in cui il denominatore si annulla. Questa analisi è troppo complessa per essere esaurita qui e richiederebbe la discussione di diversi sottocasi basati sui valori di [math]m[/math] e sui segni dei discriminanti.
👉Disequazioni fratte di secondo grado. Esercizi svolti
Esercizio 7 (Medio con parametro)
Determinare per quali valori di [math]k[/math] la seguente disequazione è verificata per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]: [math]\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > 0[/math]
Passo 1: Analisi del denominatore
Il denominatore è [math]x^2+x+1[/math].
Calcoliamo il discriminante: [math]\Delta = 1^2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3 < 0[/math].
Poiché il coefficiente di [math]x^2[/math] è positivo, il denominatore è sempre positivo [math]\forall x \in \mathbb{R}[/math].
Passo 2: Studio del numeratore
La disequazione diventa:
[math]x^2+kx+1 > 0[/math] (poiché il denominatore è sempre positivo)
Affinché questa sia verificata [math]\forall x \in \mathbb{R}[/math], il numeratore deve essere sempre positivo:
- Coefficiente di [math]x^2[/math] positivo: [math]1 > 0[/math] (sempre vero).
- Discriminante negativo: [math]\Delta = k^2 – 4(1)(1) < 0 \Rightarrow k^2 < 4 \Rightarrow -2 < k < 2[/math]
Soluzione:
La disequazione è verificata per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math] se e solo se: [math]-2 < k < 2[/math]
Esercizio 8 (Difficile con parametro)
Risolvere al variare di [math]m \in \mathbb{R}[/math]: [math]\frac{(m+1)x^2-2x+m-1}{x^2-(m+1)x+m} \leq 0[/math]
Passo 1: Fattorizzare il denominatore
Il denominatore è: [math]x^2-(m+1)x+m = (x-1)(x-m)[/math]
Condizioni di esistenza: [math]x \neq 1[/math] e [math]x \neq m[/math].
Passo 2: Studio del numeratore
Il numeratore è: [math](m+1)x^2-2x+(m-1)[/math]
Caso [math]m=-1[/math]:
Il numeratore diventa lineare: [math](-1+1)x^2 – 2x + (-1-1) = -2x – 2[/math].
La disequazione diventa: [math]\frac{-2x-2}{(x-1)(x-(-1))} \leq 0 \Rightarrow \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \leq 0[/math]
Per [math]x \neq -1[/math], semplifichiamo: [math]\frac{-2}{x-1} \leq 0 \Rightarrow \frac{2}{x-1} \geq 0 \Rightarrow x > 1[/math].
Soluzione per [math]m=-1[/math]: [math]x > 1[/math].
Caso [math]m \neq -1[/math]:
Il numeratore è quadratico. Discriminante: [math]\Delta = (-2)^2 – 4(m+1)(m-1) = 4 – 4(m^2-1) = 4 – 4m^2 + 4 = 8 – 4m^2[/math].
Radici del numeratore: [math]x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8-4m^2}}{2(m+1)} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2-m^2}}{2(m+1)} = \frac{1 \pm \sqrt{2-m^2}}{m+1}[/math].
Passo 3: Analisi per casi (continuazione)
- Se [math]\Delta < 0[/math] ([math]8-4m^2 < 0 \Rightarrow m^2 > 2 \Rightarrow m < -\sqrt{2} \lor m > \sqrt{2}[/math]):
- Se [math]m+1 > 0[/math] ([math]m > -1[/math]), il numeratore è sempre positivo. La disequazione è verificata solo se il denominatore è negativo (e definito).
- Se [math]m+1 < 0[/math] ([math]m < -1[/math]), il numeratore è sempre negativo. La disequazione è verificata se il denominatore è positivo (e definito).
- Se [math]\Delta \geq 0[/math] ([math]8-4m^2 \geq 0 \Rightarrow m^2 \leq 2 \Rightarrow -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}[/math] e [math]m \neq -1[/math]):
Siano [math]x_1 = \frac{1 – \sqrt{2-m^2}}{m+1}[/math] e [math]x_2 = \frac{1 + \sqrt{2-m^2}}{m+1}[/math] le radici del numeratore. Bisogna studiare il segno della frazione in base alla posizione di [math]1[/math] e [math]m[/math] rispetto a [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math].
La soluzione completa richiede un’analisi dettagliata degli intervalli determinati dalle radici del numeratore e del denominatore per ogni valore di [math]m[/math] nei diversi intervalli definiti dai discriminanti e dai valori singolari ([math]m=-1, m=\pm \sqrt{2}[/math]).
Esercizio 9 (Molto difficile con parametro e discussione completa)
Determinare per quali valori di [math]a[/math] la disequazione: [math]\frac{x^2+(a-2)x+1}{x^2+(a+2)x+1} \geq 1[/math] ha soluzioni reali.
Passo 1: Portare tutto a primo membro
[math]\frac{x^2+(a-2)x+1}{x^2+(a+2)x+1} – 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2+(a-2)x+1 – (x^2+(a+2)x+1)}{x^2+(a+2)x+1} \geq 0[/math]
[math]\Rightarrow \frac{x^2+(a-2)x+1 – x^2-(a+2)x-1}{x^2+(a+2)x+1} \geq 0 \Rightarrow \frac{-4x}{x^2+(a+2)x+1} \geq 0[/math]
Passo 2: Semplificare
[math]\frac{4x}{x^2+(a+2)x+1} \leq 0[/math]
Passo 3: Studio del denominatore
Il denominatore [math]D(x) = x^2+(a+2)x+1[/math] deve essere [math]\neq 0[/math].
Discriminante: [math]\Delta_D = (a+2)^2 – 4(1)(1) = a^2+4a+4 – 4 = a^2+4a[/math].
Se [math]\Delta_D < 0[/math] ([math]a^2+4a < 0 \Rightarrow a(a+4) < 0 \Rightarrow -4 < a < 0[/math]), [math]D(x)[/math] è sempre positivo.
Se [math]\Delta_D \geq 0[/math] ([math]a^2+4a \geq 0 \Rightarrow a(a+4) \geq 0 \Rightarrow a \leq -4 \lor a \geq 0[/math]), [math]D(x)[/math] ha due radici: [math]x = \frac{-(a+2) \pm \sqrt{a^2+4a}}{2}[/math].
Passo 4: Risoluzione per casi
Caso [math]-4 < a < 0[/math]:
Il denominatore è sempre positivo, quindi la disequazione diventa: [math]4x \leq 0 \Rightarrow x \leq 0[/math].
Soluzione: [math]x \leq 0[/math] (esistono soluzioni reali).
Caso [math]a = 0[/math]:
La disequazione diventa [math]\frac{4x}{x^2+2x+1} \leq 0 \Rightarrow \frac{4x}{(x+1)^2} \leq 0[/math].
Soluzione: [math]x \leq 0[/math] e [math]x \neq -1[/math] (esistono soluzioni reali).
Caso [math]a = -4[/math]:
La disequazione diventa [math]\frac{4x}{x^2-2x+1} \leq 0 \Rightarrow \frac{4x}{(x-1)^2} \leq 0[/math].
Soluzione: [math]x \leq 0[/math] e [math]x \neq 1[/math] (esistono soluzioni reali).
Caso [math]a > 0[/math]:
Le radici del denominatore sono [math]x = \frac{-(a+2) \pm \sqrt{a^2+4a}}{2}[/math]. Poiché [math]a>0[/math], [math]a+2 > 0[/math] e [math]\sqrt{a^2+4a} < \sqrt{(a+2)^2} = a+2[/math]. Quindi entrambe le radici sono negative. La disequazione [math]\frac{4x}{D(x)} \leq 0[/math] è soddisfatta per [math]x \leq 0[/math] (escludendo le radici del denominatore).
Caso [math]a < -4[/math]:
Sia [math]a = -4 – \epsilon[/math] con [math]\epsilon > 0[/math]. Le radici del denominatore diventano [math]x = \frac{-(-2-\epsilon) \pm \sqrt{(-4-\epsilon)^2 + 4(-4-\epsilon)}}{2} = \frac{2+\epsilon \pm \sqrt{16+8\epsilon+\epsilon^2 – 16 – 4\epsilon}}{2} = \frac{2+\epsilon \pm \sqrt{4\epsilon+\epsilon^2}}{2}[/math]. Entrambe le radici sono positive. La disequazione [math]\frac{4x}{D(x)} \leq 0[/math] è soddisfatta per [math]x \leq 0[/math] (escludendo le radici del denominatore).
Conclusione:
La disequazione ha sempre soluzioni reali per ogni [math]a \in \mathbb{R}[/math].
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