Distribuzione F: 5 Esercizi Risolti (Facile, Intermedio, Avanzato) con Applicazioni Reali

Nel mondo della statistica inferenziale, dove la distribuzione F di Fisher-Snedecor emerge come uno strumento potente e versatile per confrontare la variabilità tra gruppi e analizzare l’effetto di diversi fattori. Che siate studenti alle prese con i concetti fondamentali o professionisti che desiderano affinare le proprie competenze, comprendere e saper applicare la distribuzione F è cruciale in molteplici discipline, dalla ricerca scientifica all’analisi aziendale.

In questo articolo, vi guideremo attraverso 5 esercizi risolti sulla distribuzione F, ciascuno basato su scenari realistici e progettato per aumentare gradualmente la vostra familiarità e competenza. Partiremo da un semplice confronto della variabilità tra due gruppi indipendenti, per poi affrontare test di omogeneità delle varianze, analisi della varianza (ANOVA) a una e due vie, fino a toccare concetti più avanzati come l’analisi dell’interazione tra fattori. Ogni esercizio sarà analizzato nel dettaglio, spiegando passo dopo passo la logica teorica sottostante, la formulazione delle ipotesi, il calcolo della statistica test e l’interpretazione dei risultati.

👉La Distribuzione F di Fisher e l’Analisi della Varianza (ANOVA)

5 esercizi risolti sulla distribuzione F

Esercizio 1 (Facile)

Scenario:

Un insegnante vuole confrontare la variabilità dei voti di due classi (A e B) in un test di matematica. I voti della classe A ([math]n_1 = 10[/math]) hanno una varianza campionaria [math]s_1^2 = 16[/math], mentre quelli della classe B ([math]n_2 = 12[/math]) hanno [math]s_2^2 = 9[/math].

Verificare se le varianze sono significativamente diverse ([math]\alpha = 0.05[/math]).

Soluzione:

Questo esercizio introduce l’applicazione più diretta del test F: il confronto della variabilità di due popolazioni indipendenti. È un passo fondamentale per capire se le differenze osservate nei dati potrebbero essere dovute semplicemente al caso o a una reale differenza nella dispersione dei dati.

Ipotesi:

[math]H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2[/math] (le varianze sono uguali)

[math]H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2[/math] (le varianze sono diverse)

Calcolo del rapporto F:

[math]F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78[/math]

Gradi di libertà:

[math]df_1 = n_1 – 1 = 9[/math], [math]df_2 = n_2 – 1 = 11[/math].

Valore critico:

Dalle tabelle F, per [math]\alpha/2 = 0.025[/math]:

[math]F_{0.025}(9, 11) \approx 3.59[/math] e [math]F_{0.975}(9, 11) = \frac{1}{F_{0.025}(11, 9)} \approx \frac{1}{3.92} \approx 0.255[/math]

Decisione:

Poiché [math]0.255 < 1.78 < 3.59[/math], non rifiutiamo [math]H_0[/math]. Le varianze non sono significativamente diverse.

👉Tavola Distribuzione F: Guida all’Uso per Test Unilaterali e Bilaterali (con Esempi e Visualizzazione Python)

Esercizio 2 (Intermedio)

Scenario:

Un’azienda farmaceutica testa due metodi di produzione di un farmaco. Il metodo 1 ha una varianza di purezza [math]s_1^2 = 4.2[/math] ([math]n_1 = 8[/math]), mentre il metodo 2 ha [math]s_2^2 = 1.8[/math] ([math]n_2 = 6[/math]).

Verificare se il metodo 1 è più variabile ([math]\alpha = 0.05[/math]).

Soluzione:

Questo esercizio estende il concetto del primo, focalizzandosi su un test a una coda. Ciò è importante quando si ha un’ipotesi direzionale sulla differenza di variabilità tra i gruppi, come nel caso in cui si sospetta che un metodo sia intrinsecamente più variabile dell’altro.

Ipotesi:

[math]H_0: \sigma_1^2 \le \sigma_2^2[/math]

[math]H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2[/math]

Calcolo di F:

[math]F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{4.2}{1.8} \approx 2.33[/math]

Gradi di libertà:

[math]df_1 = 7[/math], [math]df_2 = 5[/math].

Valore critico:

Per [math]\alpha = 0.05[/math], [math]F_{0.05}(7, 5) \approx 4.88[/math].

Decisione:

Poiché [math]2.33 < 4.88[/math], non rifiutiamo [math]H_0[/math]. Non c’è evidenza che il metodo 1 sia più variabile.

Esercizio 3 (Intermedio-Avanzato)

Scenario: Un ricercatore confronta l’efficacia di tre diete (A, B, C) misurando la perdita di peso (kg) in 3 gruppi. I dati sono:

• Dieta A: [math]n_A = 10[/math], [math]s_A^2 = 6.5[/math]
• Dieta B: [math]n_B = 10[/math], [math]s_B^2 = 5.0[/math]
• Dieta C: [math]n_C = 10[/math], [math]s_C^2 = 9.0[/math]

Verificare l’omogeneità delle varianze con il test di Levene ([math]\alpha = 0.05[/math]).

Soluzione:

Questo esercizio introduce un’applicazione cruciale della distribuzione F nel contesto di confronti multipli: la verifica dell’omogeneità delle varianze tra più gruppi. Questo è un presupposto fondamentale per l’applicazione di molte tecniche statistiche, come l’ANOVA.

Calcolo delle medie assolute:

Supponiamo che le medie assolute dalle rispettive medie siano:

• Dieta A: [math]\bar{z}_A = 2.1[/math]
• Dieta B: [math]\bar{z}_B = 1.8[/math]
• Dieta C: [math]\bar{z}_C = 2.4[/math]

Media globale: [math]\bar{z} = 2.1[/math].

Calcolo della statistica F:

[math]F = \frac{(n_A(\bar{z}_A – \bar{z})^2 + n_B(\bar{z}_B – \bar{z})^2 + n_C(\bar{z}_C – \bar{z})^2) / (3 – 1)}{( \sum_{i=1}^{n_A} (z_{Ai} – \bar{z}_A)^2 + \sum_{i=1}^{n_B} (z_{Bi} – \bar{z}_B)^2 + \sum_{i=1}^{n_C} (z_{Ci} – \bar{z}_C)^2 ) / (n_A + n_B + n_C – 3)}[/math]

Sostituendo i valori (ipotetici), otteniamo [math]F \approx 1.75[/math].

Valore critico:

[math]F_{0.05}(2, 27) \approx 3.35[/math].

Decisione:

Poiché [math]1.75 < 3.35[/math], le varianze sono omogenee.

Esercizio 4 (Avanzato)

Scenario:

In un esperimento agricolo, si confrontano 4 fertilizzanti su 5 campi ciascuno. L’ANOVA ha mostrato [math]MS_{tra} = 12.4[/math] e [math]MS_{err} = 3.1[/math].

Verificare se i fertilizzanti hanno effetti diversi ([math]\alpha = 0.01[/math]).

Soluzione:

Questo esercizio mostra come la distribuzione F sia il cuore dell’analisi della varianza (ANOVA) a una via. Permette di determinare se ci sono differenze significative tra le medie di più di due gruppi, analizzando la variabilità tra i gruppi rispetto alla variabilità all’interno dei gruppi.

Ipotesi:

[math]H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4[/math]

[math]H_1:[/math] Almeno una media è diversa.

Calcolo di F:

[math]F = \frac{MS_{tra}}{MS_{err}} = \frac{12.4}{3.1} = 4.0[/math]

Gradi di libertà:

[math]df_1 = 4 – 1 = 3[/math], [math]df_2 = 4 \times (5 – 1) = 16[/math].

Valore critico:

[math]F_{0.01}(3, 16) \approx 5.29[/math].

Decisione:

Poiché [math]4.0 < 5.29[/math], non rifiutiamo [math]H_0[/math]. Non ci sono differenze significative.

Esercizio 5 (Molto Avanzato)

Scenario:

Uno studio misura l’effetto di 2 farmaci (X e Y) su due gruppi di pazienti (maschi e femmine). L’interazione farmaco-genere è testata con un’ANOVA a due vie.

I risultati sono:

• [math]MS_{interazione} = 8.0[/math]
• Gradi di libertà: [math]df_{inter} = 1[/math]
• [math]MS_{err} = 2.0[/math]
• Gradi di libertà per l’errore: [math]df_{err} = 20[/math]

Verificare se l’interazione è significativa ([math]\alpha = 0.05[/math]).

Soluzione:

Questo esercizio illustra l’utilizzo della distribuzione F in un contesto più complesso, l’ANOVA a due vie. In particolare, si concentra sull’analisi dell’interazione tra due fattori, permettendo di capire se l’effetto di un fattore dipende dal livello dell’altro.

Ipotesi:

[math]H_0:[/math] Non c’è interazione.

[math]H_1:[/math] C’è interazione.

Calcolo di F:

[math]F = \frac{MS_{interazione}}{MS_{err}} = \frac{8.0}{2.0} = 4.0[/math]

Valore critico:

[math]F_{0.05}(1, 20) \approx 4.35[/math].

Decisione:

Poiché [math]4.0 < 4.35[/math], l’interazione non è significativa.

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