I numeri solitari

“I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. Se ne stanno al loro posto nell’infinita serie dei numeri naturali, schiacciati come tutti fra due, ma un passo in là rispetto agli altri. Sono numeri sospettosi e solitari e per questo Mattia li trovava meravigliosi.”

Paolo Giordano

Numeri primi gemelli

Si definiscono numeri primi gemelli due numeri primi che differiscono tra loro di due .
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),
(71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),
(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241),
(269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421),
(431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601),
(617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823),
(827, 829), (857, 859), (881, 883)
Tutte le coppie di numeri primi gemelli, ad eccezione di (3,5), sono della forma

(6n-1,6n+1)

dove n è un numero naturale.

La solitudine dei numeri primi

I numeri primi gemelli fanno da filo conduttore al romanzo La solitudine dei numeri primi di Paolo Giordano.
Nella storia i due protagonisti vengono associati a una coppia di numeri primi gemelli.
Queste coppie di numeri così solitarie e rare in mezzo alla moltitudine di tutti i numeri, rappresentano due numeri vicinissimi fra loro, ma mai consecutivi, cioè mai attaccati fra loro, mai uniti uno dopo l’altro, perché ci sarà sempre un altro numero in mezzo (un numero necessariamente pari ) a dividerli.

I numeri solitari

All’interno della famiglia dei numeri naturali, si possono individuare dei raggruppamenti e definire per essi il grado di solitudine.
Un gruppo di numeri è solitario se è finito, poiché “non conosce” tutti gli altri infiniti numeri.
Considerando invece famiglie non banali, ovvero quelle infinite, si definisce grado di solitudine la somma dei reciproci di tutti i membri:

Se γ è un numero finito la famiglia è solitaria, altrimenti no.

La famiglia dei numeri naturali non è solitaria.

Infatti, costruendo la somma dei reciproci, si ottiene la famosa serie armonica, che Eulero dimostrò divergere

Le serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza.

Se prendiamo in considerazione la famiglia dei quadrati, la somma degli inversi è finita, e in particolare risulta

Quindi i quadrati sono solitari!

I numeri primi

La domanda è se la somma dei reciproci dei numeri primi è finita oppure no. Ancora una volta Eulero dimostrò che tale somma è infinita,
sfruttando la seguente, geniale uguaglianza che diede avvio alla teoria analitica dei numeri:

La costante di Brun

La costante di Brun (più formalmente costante di Brun per i numeri primi gemelli) è un teorema matematico elaborato da Viggo Brun nel 1919.

Egli ha mostrato che la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli (coppie di numeri primi che differiscono di 2) converge a una costante matematica ( che vale circa 1,90), chiamata col suo nome

È indicata solitamente con B₂:

in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi è divergente. Questo significa che anche se ci fossero infiniti primi gemelli, questi sarebbero “una frazione infinitesima dei numeri primi”.

È dunque sbagliato affermare che i numeri primi sono solitari.
Tuttavia diventa magicamente corretto se dopo “primi” aggiungiamo la parola “gemelli”!
Per essere corretto il titolo del libro di Giordano dovrebbe essere “La solitudine dei numeri primi gemelli”.

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