Indice
Quadrato di un binomio
Cubo di un binomio
Quadrato di un trinomio
Differenza di quadrati
Somma di cubi
Differenza di cubi
Trinomio caratteristico
Il trinomio x2 + bx + c si scompone se esistono due numeri s e p la cui somma è b e il prodotto è c, allora:
Potenza n-ma di un binomio
I coefficienti della potenza n-ma del binomio (a + b) sono gli elementi della riga n-ma del triangolo di Tartaglia. Il polinomio è composto da n + 1 addendi con le potenze di a che diminuiscono da n a 0 e quelle di b aumentano da 0 a n.
ad esempio:
mentre la potenza n-ma del binomio (a – b) si sviluppa con la stessa formula di (a + b), ma con i segni alternati, a partire dal +.
Altre scomposizioni
Teorema del resto
l resto della divisione di un polinomio p(x) per d(x) = x – c, è dato dal valore che assume il polinomio, quando al posto della lettera x si sostituisce il numero c.
Teorema di Ruffini
Un polinomio p(x) è divisibile esattamente per il binomio d(x) = x – c soltanto quando il polinomio si annulla per x = c, cioè se p(c) = 0. Ogni valore della variabile x per il quale il polinomio p(x) si annulla, si chiama zero, o radice, del polinomio.
Se c’è una radice del polinomio p(x) di grado n allora p(x) = (x – c)s(x) dove s(x) è un opportuno polinomio di grado n-1.
Radici intere di un polinomio
Le radici intere del polinomio p(x) a coefficienti interi, vanno ricercate tra i divisori del termine noto del polinomio.
Radici razionali di un polinomio
Le radici razionali del polinomio p(x) a coefficienti interi, vanno ricercate tra le frazioni p/q dove p è un divisore del termine noto e q è un divisore del coefficiente della potenza massima.
Regola di Cartesio
Si considerino i coefficienti a,b e c di unequazione di secondo, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi. La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di unequazione di secondo grado:
♦ in un’ equazione di secondo grado, avente radici reali, il numero di di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il numero di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni.
Se le soluzioni sono di segno discorde è maggiore in quella positiva se la variazione precede la permanenza, quella negativa se la permanenza precede la variazione.
Relazione fra radici e coefficienti
Scomposizione di un polinomio di secondo grado
Il polinomio ax2 + bx + c = 0 si scompone in modi diversi, dipendenti dall’ esistenza delle eventuali radici x1 e x2.
Se Δ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte x1 e x2 allora si ha:
Se Δ = 0 si ha un’unica soluzione reale x1 allora si ha:
Se Δ < 0 allora si ha:
(1872)