Indice
Distribuzione di Poisson e distribuzione binomiale
Quando il numero di prove n è grande e la probabilità di successo p è piccola la distribuzione binomiale può essere approssimata con la distribuzione di Poisson avente media lambda=np.
Regola pratica
per ottenere una buona approssimazione: usare la distribuzione di Poisson quando n>=50 e p<=0,1
La distribuzione binomiale in Excel
Per il calcolo della distribuzione binomiale si usa la funzione DISTRIB.BINOM.N()
Sintassi
DISTRIB.BINOM.N()(num_successi;prove;probabilità_s;cumulativo)
Num_successi numero di successi nelle prove effettuate.
Prove numero di prove indipendenti effettuate.
Probabilità_s probabilità di successo in ciascuna prova.
Cumulativo valore logico che determina il tipo di funzione calcolata.
- Se il valore cumulativo è VERO,
DISTRIB.BINOM.N()restituirà la funzione di ripartizione, ossia la probabilità di ottenere un numero di successi minore o uguale al valore num_successi. - Se il valore cumulativo è FALSO, verrà restituita la distribuzione di probabilità, ossia la probabilità di ottenere un numero di successi uguale al valore num_successi.
Nota:
in un processo binomiale in cui si effettuano n prove, il numero di successi k varia da 0 a n.
Per il calcolo delle probabilità negli esercizi seguenti sono utili le proprietà della distribuzione binomiale:
La distribuzione di Poisson in Excel
Per il calcolo della distribuzione di Poisson si usa la funzione
=DISTRIB.POISSON()
Sintassi
DISTRIB.POISSON(x;media;cumulativo)
x = numero degli eventi.
media = valor medio della distribuzione di Poisson.
Cumulativo = valore logico che determina il tipo di funzione calcolata.
- Se cumulativo è VERO,
DISTRIB.POISSONrestituirà la funzione di ripartizione di Poisson ossia la probabilità che il numero degli eventi casuali sia compreso tra zero e x inclusi. - Se il valore cumulativo è FALSO, verrà restituita la distribuzione di probabilità, ossia la probabilità che il numero di eventi sia uguale a x.
Proprietà della distribuzione di Poisson
Per il calcolo delle probabilità negli esercizi seguenti sono utili le proprietà della distribuzione di Poisson (analoghe alle proprietà della binomiale):
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Esercizio 1
La probabilità che un oggetto prodotto da una macchina sia difettoso è p=0,2.
Calcolare le probabilità che in un campione di 10 oggetti scelti a caso ci siano 0, 1, 2,…, 10 oggetti difettosi usando sia la distribuzione binomiale che la distribuzione di Poisson.
Confrontare su un grafico i risultati ottenuti.
Ripetere il procedimento nel caso di un campione di 100 oggetti, con probabilità di successo p=0,1 .
Soluzione
Inseriamo nel foglio di Excel i parametri:
Iniziamo a costruire la prima tabella richiesta dall’esercizio:
Per la colonna Binomiale utilizziamo la seguente formula:
=DISTRIB.BINOM.N(F7;$B$4;$B$5;0)
Per la colonna Distr. di Poisson utilizziamo la seguente formula:
=DISTRIB.POISSON(F7;$B$6;0)
Nota bene:
Per i parametri ( in rosso) abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti!!
A questo punto, possiamo trascinare le formule lungo le rispettive colonne.
La tabella risultato:
Il grafico di confronto:
⇒ La distribuzione di Poisson non fornisce un’approssimazione molto precisa: la regola pratica suggerita non è soddisfatta.
Consideriamo ora il caso di un campione di 100 oggetti con una probabilità di successo pari a 0,1:
Riutilizziamo il nostro foglio modificando i parametri nel modo seguente:
Di conseguenza, otterremo la tabella:
ed il nuovo grafico:
La distribuzione di Poisson fornisce una buona approssimazione: la regola pratica suggerita è soddisfatta.
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