Divisione tra polinomi

Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore. 6 è divisibile per 3 perché 3 * 2 dà come prodotto 6. Procediamo in modo analogo per i polinomi.

DEFINIZIONE

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.
A : B = Q  => B * Q = A.

A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.

ESEMPIO:

Il grado del polinomio quoziente

Sappiamo che il grado di B * Q è la somma del grado di B e del grado di Q: dunque,poiché B* Q = A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n – p, con n>= p.

Nell’esempio precedente, A è di grado 7, B di grado 2, Q di grado 7 – 2 = 5.

Se il divisore è un monomio

DEFINIZIONE
Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.
Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che otteniamo applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione: dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio.

Se il divisore è un polinomio

Analogamente a quanto succede nell’insieme dei numeri naturali, possiamo eseguire la divisione fra due polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.
Dati due polinomi A e B in una sola variabile, con il grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R tali che:
A = B * Q + R,
dove Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.
Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado di B.
Nel caso particolare in cui R = 0, si ha A = B * Q, ossia A è divisibile per B.
Vediamo con un esempio la tecnica per eseguire la divisione tra due polinomi.

IN PRATICA:

ESEMPIO:

ESEMPIO:

ESERCIZI FACILI:

ESERCIZI DIFFICILI:

(1372)