“I numeri perfetti (come gli uomini perfetti) sono estremamente rari.”

René Descartes

Definizione di numeri perfetti

Un numero n si dice perfetto se la somma dei suoi divisori (compreso se stesso) è uguale a 2n.
Per esempio:
12 = 1 + 2 + 3 + 6;
56 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28;
992 = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 496;
dunque 6, 28, e 496 sono numeri perfetti.

I numeri perfetti nella storia

Non si sa con precisione quando è iniziato lo studio dei numeri perfetti, probabilmente già gli Egizi erano incuriositi da questi numeri, anche se non ci sono prove al riguardo.
Le prime testimonianze sono legate al nome di Pitagora. Secondo la scuola pitagorica, la perfezione numerica dipendeva dai divisori di un numero. Quando la somma dei divisori di un numero è maggiore del numero stesso, quel numeroera definito eccedente, mentre quando la somma dei divisori è inferiore al numero stesso, il numero era chiamato difettivo. I numeri più rari ed importanti erano quelli i cui divisori, addizionati, danno esattamente come somma il numero in questione. Pitagora si compiaceva dei numeri perfetti, ma non era appagato semplicemente dal loro ritrovamento; desiderava piuttosto scoprirne il significato profondo.
Una delle sue intuizioni fu che la perfezione era strettamente legata al numero 2.

I numeri 4 (2 ∗ 2), 8 (2 ∗ 2 ∗ 2), 16 (2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2), etc, sono noti come potenze di 2 e vengono più comodamente scritti 2ⁿ

Tutte queste potenze di 2 non sono numeri perfetti per uno scarto minimo, poiché la somma dei loro divisori ammonta sempre a una cifra inferiore di un’unità al numero stesso. Questo li rende solo lievemente difettivi:

2² = 2 ∗ 2 = 4  Divisori 1, 2 Somma = 3,

2³ = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8   Divisori 1, 2, 4 Somma = 7,

2⁴ = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 16  Divisori 1, 2, 4, 8 Somma = 15,

2⁵ = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 32  Divisori 1, 2, 4, 8, 16 Somma = 31.

La correlazione tra i numeri perfetti e il numero 2 e le sue potenze fu poi ripreso dopo circa due secoli da Euclide. Nella sua opera Elementi, scritta intorno al 300 a.C., si possono infatti trovare interessanti risultati legati alla teoria dei numeri. In particolare la proposizione 36 del libro IX degli Elementi dice:
Se, a partire dall’unità, si prende un numero a piacere di numeri
successivamente proporzionali in ragione doppia, fino a che la loro
somma sia un numero primo, il prodotto di tale somma per l’ultimo
numero sarà un numero perfetto.
Spieghiamo la proposizione con un esempio. Consideriamo 1 + 2 + 4 = 7,
che è un numero primo. Allora se moltiplichiamo tra loro la somma e l’ultimo
numero:
(somma) ∗ (ultimo) = 7 ∗ 4 = 28
otteniamo in effetti un numero perfetto.

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