Proprietà dei numeri perfetti

Nonostante alcuni matematici abbiano nel corso dei secoli denigrato l’importanza dei numeri perfetti (forse più per giustificarsi per non essere stati in grado di scoprirne loro stessi), questi numeri hanno interessanti proprietà.
Seguendo la scoperta di Nicomaco di Gerasa,

Proprietà 1

Si può precisare che ogni numero perfetto pari termina con 28 o con 6, preceduto da un numero dispari.

Proprietà 2 

Ogni numero perfetto è triangolare.

Definizione

Un numero si dice triangolare se è dato dalla somma dei numeri consecutivi a partire dall’unità.

Sono esempi di numeri triangolari:

3 = 1 + 2,
6 = 1 + 2 + 3,
10 = 1 + 2 + 3 + 4,
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Proprietà 3

Ogni numero perfetto è esagonale.

Definizione

Un numero si dice esagonale se si ottiene dalla formula n (2n − 1).

I primi numeri esagonali sono: 1, 6, 15, 28, 45,… I numeri esagonali sono
uguali ai numeri triangolare alternati (quelli formati da un numero dispari di addendi).

Proprietà 4 (Teorema di Filippo Giordano)

Ogni numero perfetto, ad eccezione del 6, ha radice numerica sempre pari a 1.

Definizione 

Si definisce radice numerica di un numero la somma delle singole cifre di cui è composto il numero perpetuata fino al raggiungimento di una sola cifra.

Man mano che la ricerca sui numeri perfetti è andata avanti è stata notata questa curiosità: la radice numerica di ogni nuovo numero perfetto era sempre uguale a 1. Tale caratteristica ha indotto i ricercatori ad avanzare l’ipotesi che tutti i numeri perfetti, compresi quelli ancora ignoti, conservino tale proprietà.
Tuttavia, fin quando tale congettura è rimasta non dimostrata, ogni dubbio sulla sua veridicità era legittimo nonché avvalorato dalla diversità del primo numero perfetto (il perfetto 6 che ha radice numerica pari a 6). Dubbi e perplessità checoincidevano con i seguenti interrogativi:
Per quale motivo il primo perfetto non ha radice numerica 1?
Esso costituisce l’unica eccezione oppure, in seguito, se ne scopriranno altre?
Questa congettura fu poi spiegata grazie alle dimensioni cicliche dei sistemi numerici.

Dimostrazione del Teorema di Filippo Giordano.

Euclide, nel 300 avanti Cristo, osservò che con n = numero primo, ogni qualvolta 2ⁿ − 1 corrisponde a
sua volta ad un ulteriore numero primo, allora  2ⁿ−1(2n − 1) è un numero perfetto.

Aumentando gradualmente il valore di n della formula euclidea, da 1 all’infinito, si ottengono infiniti cicli esa-numerici, ciascuno dei quali contiene al suo interno numeri con radice numerica rispettivamente: 1, 6, 1, 3, 1, 9.

E così via, all’infinito.

Nell’ambito dei primi due cicli esa-numerici della formula euclidea sopra riportati si incontrano i primi 4 numeri perfetti, determinati da n avente valore
uguale ai numeri primi 2, 3, 5 e 7.
Si può notare che tutti i numeri corrispondenti a valore di n dispari hanno radice
numerica 1, mentre tutti quelli corrispondenti a valore di n pari hanno, alternativamente, radice numerica del 3 e dei suoi multipli (6-3-9).
Il 6 (unico fra i numeri perfetti ad avere radice numerica diversa da 1) infatti, è il prodotto dei due fattori aventi l’unico esponente n primo pari, cioè il 2:
2²⁻¹(2² − 1) = 2 ∗ 3 = 6.

Poiché condizione necessaria e indispensabile affinché 2ⁿ − 1 sia un numero primo è quella, preliminare, che n corrisponda ad un numero primo e poiché tutti i numeri primi, ad eccezione del 2, sono dispari, allora tutti i numeri perfetti, poiché determinati dalla formula euclidea avente n= numero dispari conservano sempre (ad eccezione di n = 2) la radice numerica 1.

Proprietà 5

Dalla definizione di perfezione, si deduce che la somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è uguale a 2.

Proprietà 6

Con l’eccezione del primo numero perfetto 6, ogni successivo è pari alla somma parziale della serie 1³ + 3³ + 5³ + 7³+…
Per esempio, 28 = 1³ + 3³, mentre 496 = 1³ + 3³ + 5³_.

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