Ecco con chi giocare a bowling. Esercizi svolti di calcolo combinatorio e delle probabilità

ESERCIZIO 1

Qual’è il più piccolo naturale con esattamente 15 divisori?

SOLUZIONE

Scritto ogni intero n nella forma p₁^α1 ···p_k^αk si ha che i suoi divisori sono esattamente k = (α₁ + 1)···(α_k + 1), poiché ogni primo p_i che divide n appare nei divisori di n con una potenza compresa tra 0 e α_i.

Poiché 15 = 5 · 3 le possibilità sono o 2¹⁴ o 2⁴· 3², e con semplici stime (3² ≤ 2⁴) si ha che la soluzione è 144.

COME RISOLVO GLI ESERCIZI SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA’?

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Come risolvo gli esercizi sul calcolo delle probabilità?

ESERCIZIO 2

In quanti modi possiamo scegliere 3 sottoinsiemi A, B,C di U = {1, 2,…,n} in modo che:

A ∩ B ∩C = ∅, 

A ∩ B ≠ ∅,

A ∩C ≠ ∅.

SOLUZIONE

Poiché è più semplice lavorare con insiemi disgiunti, dividiamo i tre insiemi nei più semplici sottoinsiemi disgiunti:

A \ (B ∪ C), B \ (A ∪ C), C \ (B ∪ A), A ∩ B, C ∩ B, A ∩ C

e consideriamo anche l’insieme complementare U \ (A ∪ B ∪C).

Queste sono tutte le “zone” del diagramma degli insiemi, dato che A ∩ B ∩ C =∅. Se contiamo tutti i modi di scegliere come dividere gli elementi di U su questi 7 insiemi, essi sono certamente 7ⁿ , infatti per ogni elemento di U si può scegliere dove inserirlo in 7 modi diversi. Se però vogliamo avere rispettate le condizioni A ∩B ≠∅, A ∩C ≠∅, dobbiamo sottrarre ora le combinazioni che non le rispettano, cioè quelle in cui A ∩ B =∅ oppure A ∩C =∅. Le combinazioni, in ognuno dei due casi, sono 6ⁿ , poiché restano sempre esattamente 6 insiemi su cui distribuire gli elementi di U . Infine, bisogna riaggiungere il caso in cui A ∩ B =∅ ed A ∩C =∅, poiché questo caso è stato sottratto due volte; in questo caso analogamente abbiamo 5ⁿ combinazioni, poiché restano 5 insiemi. Si ottiene quindi il risultato finale

 

ESERCIZIO 3

Due squadre di bowling si sfidano giocando fra loro varie partite. La squadra che vince 4 partite è vincitrice della sfida. La squadra A (la più forte) vince ogni partita con probabilità 3/5, da cui segue che la squadra B vince con probabilità 2/5. 
Calcolare la probabilità che la squadra A vinca in k partite, con k = 4, 5, 6, 7.

SOLUZIONE

Siano dati gli eventi
E_k = {la squadra A vince la k-esima partita}, con k = 1, . . . 7, tutti stocasticamente indipendenti e tali che P(E_k) = 3/5 per ogni k.

Per ogni k = 1, . . . 7, il numero di vincite della squadra A in k partite è quindi dato dal numero aleatorio

X_k = E₁ + . . . + E_k

che ha distribuzione binomiale di parametri k e 3/5 (in sintesi scriveremo X_k ∼ Bin(k, 3/5)).

Definiamo ora l’evento F_k = {A vince in k partite}, con k = 4, 5, 6, 7, di cui si vuole calcolare la probabilità. Nella notazione introdotta, osserviamo che

F_k = {X_k = 4} · E_k

ovvero esso si verifica quando la squadra A vince 4 delle k partite, tra cui l’ultima di quelle giocate (altrimenti la sfida si sarebbe interrotta prima).
Per ogni k = 4, . . . , 7 vale quindi

ESERCIZIO 4

Si consideri un mazzo da 40 carte. Matteo pesca 5 carte.
• Qual è la probabilità che abbia pescato esattamente tre assi?
• Qual è la probabilità che, cambiando una delle due carte che non sono assi, ottenga il poker d’assi?

SOLUZIONE

• Casi favorevoli: combinazioni di 3 su 4 (scelta di tre assi) x combinazioni di 2 su 36 (scelta di due carte fra le restanti del mazzo che non sono assi) = 4 · (36 · 35)/2.
Casi possibili: tutte le combinazioni di 5 su 40: 40!/(5!35!). La probabilità di pescare esattamente tre assi è

[4 ·(36 · 35)/2]/[40!/(5!35!)] ≅ 0, 00383.

• Poiché sono restate 35 carte di cui una sola è un asso, Matteo ottiene il poker con probabilità 1/35.

ESERCIZIO 5

In un urna ci sono 3 palline gialle, 2 rosse e 4 bianche.
• Calcolare il numero di possibili combinazioni di 5 palline di cui due gialle, una rossa e due bianche.
Matteo estrae una pallina: se gialla la toglie e ne aggiunge una rossa; se rossa la reinserisce e ne aggiunge un’altra rossa; se bianca la toglie.
• Alla seconda estrazione, qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
• Qual è la probabilità che, avendo estratto una bianca alla seconda estrazione, alla prima estrazione fosse uscita una pallina gialla?

SOLUZIONE

Combinazioni di 2 su 3 x Combinazioni di 1 su 2 x Combinazioni di 2 su 4:

= 3 · 2 · (4 · 3/2) = 36

Chiamo gli eventi: G=estrazione di una gialla, R=estrazione di una rossa, B=estrazione di una bianca. G₁= esce una gialla alla prima estrazione, ecc …. Si ha: p(G₁) = 3/9, p(R₁) = 2/9, p(B₁) = 4/9.

La probabilità di estrarre una bianca alla seconda estrazione è:

p(B₂) = p(B₂ ∩G₁) + p(B₂ ∩R₁) + p(B₂ ∩ B₁) =

(suddivido in una partizione di sottoeventi disgiunti)

p(G₁)· p(B₂|G₁) + p(R₁)· p(B₂|R₁) + p(B₁)· p(B₂|B₁) =

(probabilità condizionata di eventi dipendenti, 3/9 · 4/9 + 2/9 · 4/10 + 4/9 · 3/8 ≅ 0.404 poiché la prima estrazione modifica il contenuto dell’urna)

c − p(G₁|B₂) = p(B₂ ∩G₁)/p(B₂) = [p(G₁) · p(G₁|B₂)]/p(B₂) = [3/9 · 4/9]/[3/9 · 4/9 + 2/9 ·4/10 + 4/9 · 3/8] ≅ 0.37

ESERCIZIO 6

Quattro squadre di bowling di pari forza disputano un torneo con girone unico all’italiana (ogni squadra incontra ogni altra squadra una sola volta). Qual è la probabilità che ci sia una squadra che alla fine del torneo ha vinto tutte le sue partite? (le partite  non possono finire con un pareggio).
(A) 1/6
(B) 1/π
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 2/3

SOLUZIONE

La probabilità che una squadra vinca tutte le partite è 1/2·1/2·1/2·1/2 = 1/8.

Poiché è impossibile che più squadre vincano tutte le partite, possiamo moltiplicare tale risultato per il numero delle squadre. Pertanto la probabilità cercata è 4 ·1/8 = 1/2

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