Indice
Calcolo della probabilità: quadro riassuntivo.
Per risolvere gli esercizi relativi al calcolo delle probabilità, devi:
1. Sapere calcolare la probabilità di un evento singolo;
2. Sapere distinguere fra i diversi tipi di eventi;
3. Sapere distinguere fra eventi dipendenti e eventi indipendenti;
4. Sapere distinguere fra eventi compatibili e eventi incompatibili.
Che cosa è la probabilità di un evento?
La probabilità di un evento è un numero che rappresenta il grado di fiducia che hai nel verificarsi di quell’evento.
Per esempio, la probabilità di ottenere 6 lanciando un dado a 6 facce è quanto tu credi che questo possa verificarsi. In condizioni di onestà (in cui il dado non è truccato) questo grado di fiducia è 1/6.
Questo grado di fiducia è un grado oggettivo e non soggettivo (non devi “sentirti fortunato”). In quest’ottica la probabilità di un evento è determinata dal rapporto fra numero di casi “positivi” (ossia il numero di volte in cui l’evento si è verificato) e il numero di casi “possibili” (ossia il numero di casi in cui l’evento avrebbe potuto verificarsi).
Da questa definizione segue che la probabilità assume sempre un valore (indipendentemente dall’essere espressa in percentuali, in frazioni o in numeri con la virgola) compreso fra 0 e 1. Di solito questo intervallo viene considerato escludendo gli estremi. Una probabilità uguale a 0 rappresenta infatti un evento contraddittorio (una contraddizione è una frase sempre falsa, che descrive un evento non realizzabile). Un valore di probabilità uguale a 1 rappresenta invece un evento che sicuramente e necessariamente si verificherà. In termini logici, un grado di probabilità pari a 1 descrive una tautologia (frase sempre vera).
Eventi dipendenti e eventi indipendenti
La prima cosa che devi chiederti, quando devi risolvere esercizi sul calcolo della probabilità, è se gli eventi proposti dal testo del quesito sono fra di loro dipendenti o indipendenti.
Eventi come i lanci di una moneta sono indipendenti: il risultato del primo lancio di una moneta non ha infatti alcun effetto sul risultato di un secondo lancio (della stessa o di un’altra moneta).
Immaginiamo invece di dovere calcolare la probabilità di estrarre due carte di cuori da un mazzo di 52 carte. In questo caso le estrazioni possono essere di due tipi:
● Con reintroduzione (ogni estrazione è indipendente dalle altre)
● Senza reintroduzione (il verificarsi del primo evento modifica la probabilità che si verifichi il secondo evento).
Nel secondo caso, questa modifica si traduce nel diminuire di un’unità sia i casi favorevoli sia i casi possibili (di fatto abbiamo estratto già una carta di cuori e quindi c’è una carta di cuori in meno nel mazzo).
Eventi compatibili e eventi incompatibili.
Due eventi sono compatibili quando possono avvenire insieme e sono non compatibili quando non possono avvenire insieme.
Per esempio, è impossibile che tu passerai e non passerai il test d’ammissione.Di conseguenza, l’evento “passerai il test” è incompatibile con l’evento “non passerai il test”. Al contrario l’evento “andare al cinema” è perfettamente compatibile con l’evento “indossare una maglietta gialla”. Di conseguenza, questi due eventi possono verificarsi simultaneamente.
Tieni presente che la probabilità che si verifichi un evento o un altro evento quantifica la probabilità che si verifichi solo uno fra i due eventi. Di conseguenza, quando questa probabilità non viene eliminata dal fattore incompatibilità, devi ricordarti di sottrarre al valore ottenuto la probabilità che i due eventi avvengano insieme.
Ricorda:
• Quando devi calcolare la probabilità che si verifichi un evento A e un altro evento B (o nel caso altri eventi), devi MOLTIPLICARE le singole probabilità.
• Quando, invece, devi calcolare la probabilità che si verifichi un evento A o un evento B, devi SOMMARE le singole probabilità (e controllare se gli eventi sono fra di loro compatibili o incompatibili).
Quadro riassuntivo calcolo delle probabilità
Probabilità semplice
Probabilità composta di due eventi indipendenti ma compatibili
Probabilità composta di due eventi indipendenti ma compatibili
Probabilità congiunta di due eventi indipendenti
Probabilità congiunta di due eventi dipendenti
Probabilità congiunta di due eventi dipendenti
ESEMPIO 1
Lanciando due dadi non truccati a sei facce, qual è la probabilità che ottenga un doppio 6?
A) 1/6
B) 1/36
C) 1/72
D)26
E) 6/36
La risposta giusta è B.
Perché questa risposta?
Questo quesito ti chiede di calcolare la probabilità che si verifichi l’evento “6” al primo lancio e l’evento “6” al secondo lancio. Per calcolare questo valore devi moltiplicare fra loro le probabilità dei singoli eventi. Ricorda infatti che quando leggi che gli eventi sono legati da un “e” l’operazione di riferimento è la moltiplicazione.
Per prima cosa, però devi calcolare la probabilità del singolo evento “6”.
Siccome il numero di facce riportanti il numero sei in un dado a sei facce è uno, mentre le facce sono sei, la probabilità che il risultato del lancio sia 6 è P(6) = 1/6.
A questo punto, puoi moltiplicare la probabilità del primo evento con la probabilità che si verifichi il secondo. Posto che il risultato del primo lancio non influenza in alcun modo il risultato del secondo lancio, la probabilità che entrambi i lanci diano 6 come risultato è:
P(6&6) =1/6 𝑥 1/6 = 1/36
ESEMPIO 2
Da un mazzo di 52 carte da gioco vengono estratte contemporaneamente due carte. Qual è la probabilità che siano entrambe di cuori?
A) 3/51
B) 1/4
C) 13/14
D) 1/16
E) 1/8
La risposta corretta è quella indicata dall’opzione A).
Perché questa risposta?
Questo esercizio ti chiede di calcolare la probabilità che avvengano contemporaneamente due eventi.
Questo significa che deve verificarsi sia l’estrazione di una prima carta di cuori sia l’estrazione di una seconda carta di cuori. Come è successo già nell’esercizio precedente, questo significa che l’operazione di riferimento deve essere la moltiplicazione. Posto che il numero di carte di cuori in un mazzo di 52 carte è 13, la probabilità di estrarre la prima carta di cuori è:
P(cuori) =13/52
Poiché i due eventi si devono verificare entrambi, devi moltiplicare le probabilità dei singoli eventi. La probabilità di estrarre la seconda carta di cuori, però non è più 13/52. Infatti, l’estrazione della prima carta di cuori ha fatto diminuire di un’unità sia il numero di carte di cuori disponibili sia il numero di carte da cui estrarre. Di conseguenza, la probabilità del secondo evento è
P(cuori2) = 12/51
A questo punto, puoi moltiplicare fra loro le singole probabilità.
13/52 𝑥 12/51 = 3/51
ESEMPIO 3
Dati 3 mazzi di 40 carte ciascuno, qual è la probabilità di estrarre da ciascuno di essi contemporaneamente un due di fiori o un asso di cuori?
A) 3/51
B) 1/4
C) 13/204
D) 1/16
E)1/8
La risposta corretta è quella indicata dall’opzione A).
Perché questa risposta?
Il quesito chiede di calcolare che avvengano contemporaneamente due alternative di eventi.
Procediamo con ordine e iniziamo a calcolare la probabilità di estrarre, da un solo mazzo, un due di fiori o un asso di cuori. Posto che in un mazzo c’è solo un due di fiori, la probabilità di estrarre un due di fiori da un mazzo di 40 carte è:
P(2fiori) = 1/40
La probabilità di estrarre (a estrazione singola) un asso di cuori, invece, è
P (1cuori) = 1/40
La probabilità che venga estratto o un di fiori o un asso di cuori è calcolata sommando le due singole probabilità. Nota che in questo caso, trattandosi di eventi non compatibili (non è possibile che la carta estratta sia un due di fiori e contemporaneamente un asso di cuori), non è necessario sottrarre dal valore ottenuto la probabilità che i due eventi si verifichino insieme.
Di conseguenza, la probabilità che da un solo mazzo si estraggano un due di fiori o un asso di cuori è
P(o 2fiori o 1cuori) = 1/40 + 1/40 = 2/40
A questo punto, puoi passare a calcolare la probabilità che si ottenga lo stesso risultato estraendo da 3 mazzi. Ovviamente la probabilità di ripetere in ogni mazzo questa estrazione è la stessa di quella relativa al primo mazzo.
Attenzione che in questo caso non devi moltiplicare la probabilità della prima estrazione per 3. Piuttosto devi moltiplicare le tre probabilità fra loro. In questo modo ottieni
2/40 𝑥 2/40 𝑥 2/40
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