“In questo lasciare e prendere, fuggire e ricercarsi, sembra davvero di vedere una determinazione superiore: si dà atto a tali esseri di una sorta di volontà e capacità di scelta, e si trova del tutto legittimo un termine tecnico come affinità elettive.”
GOETHE
Le affinità elettive (in tedesco: Die Wahlverwandtschaften) è il quarto romanzo di Johann Wolfgang von Goethe, pubblicato nel 1809. Il titolo deriva dall’affinità chimica, proprietà degli elementi chimici che descrive la tendenza di alcuni di essi a legarsi con alcune sostanze a scapito di altre.
Il romanzo racconta la vita di una coppia sposata che, trovandosi a convivere con un amico di lui e con la nipote di lei, va incontro al disfacimento della propria relazione e alla formazione di due nuove coppie, che in brevissimo tempo si divideranno per colpa di una serie di eventi avversi, che faranno terminare la storia in modo tragico.
Così come nella chimica, anche nella matematica possiamo parlare di affinità naturali.
Un concetto per certi aspetti duale alla fattorizzazione è il partizionamento.
Partizionare un numero intero positivo significa scriverlo come somma di numeri positivi, che costituiscono gli addendi della partizione.
Le diverse partizioni per il numero 5, per esempio, sono 7 ovvero
5, 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 e 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Per convenzione, come si vede, è incluso tra le partizioni anche il numero stesso.
Il numero delle partizioni di un intero N, si indica solitamente con p(N).
Quindi, per il caso dell’esempio, p(5) = 7.
La funzione p(N) cresce rapidamente con N:
p(200) = 3972999029388 cioè un rango 2.04152696375.
p(N) è ben approssimata dalla seguente funzione:
che costituisce il primo termine dello sviluppo completo dell’espressione di p(N) individuato da Hardy e Ramanujan nel 1917.
Si vede quindi che, mentre il numero di scomposizioni in fattori è un numero assai limitato ed è dato da
N – φ (N) + 1, con φ (N) funzione di Eulero
il numero delle partizioni è elevatissimo.
L’andamento di p(N) è illustrato nel grafico seguente.
I numeri amicabili o affini
Un legame tra scomposizione in fattori e partizioni interessò molto i pitagorici che individuarono una serie di numeri che chiamarono amicabili
o affini.
Due numeri sono detti amicabili se la somma dei divisori del primo è pari al secondo e viceversa.
I più piccoli numeri amicabili sono 220 e 284. 220 ha 11 divisori (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) che costituiscono una partizione di 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284). 284 ha 5 divisori (1, 2, 4, 71,142) che costituiscono, a loro volta, una partizione di 220.
Altri numeri amicabili sono 1184, 1210, 2620, 2924.
I numeri amicabili non hanno una grande importanza in matematica e sono più che altro una curiosità. Comunque sono stati oggetto di interesse da parte di grandi matematici. Negli scritti di Eulero, per esempio, è riportata una lista di 30 coppie di numeri amicabili.
Non esiste ancora una dimostrazione se tali numeri siano infiniti o meno.
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