Un canguro sale una scala di 5000 gradini saltando prima sul 3◦, poi scendendo di 1, salendo di 5, scendendo di 3, salendo di 7 e così via. Purtroppo uno scalino è pericolante. Il canguro potrà salire la scala solo se lo scalino pericolante è:
(A) il 2000◦
(B) il 2001◦
(C) il 2002◦
(D) il 2003◦
(E) Cadrà comunque
SOLUZIONE
La risposta è (B).
La successione degli scalini toccati dal canguro è 3−1+5−3+7−5+… Tale successione può essere riscritta come
(3−1)+ (5−3)+ (7−5)+…,
dalla quale è immediato verificare che il canguro tocca tutti gli scalini pari; inoltre può essere riscritta anche come
3+(−1+ 5)+(−3+7)+…,
dalla quale appare chiaro che il canguro tocca tutti gli scalini della forma
4k + 3.
Dunque il canguro non cadrà solo se lo scalino pericolante è della forma 4k + 1, nel nostro caso 2001.
ESERCIZIO 2
Sia x la somma degli interi dispari da 1 a 2k +1. Quali di questi valori non può assumere x?
(A) 625
(B) 1225
(C) 2025
(D) 3025
(E) 4525
SOLUZIONE
La risposta è (E).
Osserviamo che:
Si prova facilmente che tutti i risultati sono quadrati perfetti tranne 4525.
ESERCIZIO 3
La cifra delle unità del numero 2137753 è:
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9
SOLUZIONE
La risposta è (D).
Quando si considerano le potenze di un intero x modulo un qualche n (in questo caso n = 10), come abbiamo visto importa solo il valore x mod n (in questo caso x mod 10 cioè la cifra delle unità). Se si moltiplica un numero che ha 7 come cifra delle unità ripetutamente per se stesso, si prova che si ottengono numeri che hanno come cifra delle unità la prima volta 9, la seconda 3, la terza 1 e la quarta nuovamente 7.
Dunque la cifra delle unità delle potenze di 2137 sono 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, 7,… e si ripetono ogni 4.
Siccome 753 = 1+4·188, la cifra delle unità di 2137753 è la stessa di 2137, cioè 7.
Notiamo che l’elevamento a potenza è una classica operazione ripetuta.
ESERCIZIO 4
Un numero è composto da 77 cifre decimali tutte uguali a 7. Qual è il resto della sua divisione per 101?
SOLUZIONE
Sia N il numero composto da 77 cifre 7. Sfruttando la base decimale otteniamo
Ora notiamo che:
10 ≡ 10 (mod 101) 102 ≡ −1 (mod 101) 103 ≡ 10·102 ≡ −10 (mod 101) 104 ≡ 102·102 ≡ 1 (mod 101).
Pertanto:
quindi resto della divisione di N per 101 è 7.
ESERCIZIO 5
Quadrati nascosti (1).
Siano a, b interi positivi. Se 132ab e 63ab2 sono entrambe quadrati perfetti, qual è il minimo valore di a + b?
SOLUZIONE
Se 63ab2 è un quadrato allora anche 63a deve esserlo; poichè 63 = 32· 7 il minimo valore di a che rende 63a un quadrato è a = 7.
Passando al secondo numero e sostituendo troviamo 132ab = 132 · 7 · b. Poichè 132 = 22·3·11 ,il minimo valore di b che rende 132ab = 22·3·7·11·b un quadrato perfetto è b = 3·7·11 = 231.
Quindi a + b = 238 (effettivamente 63ab2 = 48512 e 132ab = 4622).
ESERCIZIO 6
Quadrati nascosti (2).
Trovare l’unico primo p per cui 11p + 1 è un quadrato perfetto.
SOLUZIONE
11p + 1 è un quadrato perfetto se esiste un n intero tale che n2 = 11p + 1.
Questa stessa espressione si può scrivere nella forma
11p = n2 − 1 = (n − 1)(n + 1).
Poichè p è primo, la sua fattorizzazione contiene solo 2 elementi; ci sono due possibilità: la prima è:
{n − 1, n + 1} = {1, n2 − 1},
il che implica n = 0 o n = 2, nessuna delle quali è ammessa poichè
11 | (n2 − 1) e quindi (n2 − 1) > 11.
Consideriamo allora la seconda possibile fattorizzazione, per cui
{n − 1, n + 1} = {11, p};
si può avere n + 1 = 11 e quindi n − 1 = 9, che però non è primo e quindi non va bene; oppure si può avere
n − 1 = 11 e quindi n + 1 = 13, che è primo.
La soluzione è quindi p = 13.
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