Basta formule fini a se stesse. La matematica, quando applicata al business, diventa uno strumento per rispondere a domande cruciali: per quanto tempo quel bonus iniziale sull’investimento ci manterrà in vantaggio? Quand’è il momento esatto per dismettere un macchinario prima che diventi un costo? Esiste una quantità di produzione che ci garantirà un profitto, o stiamo inseguendo un miraggio?
In questo articolo, non ci limiteremo a ripassare le regole di logaritmi ed esponenziali. Vedremo come questi concetti, basati sulla semplice idea di crescita e decrescita, siano il motore silenzioso dietro le decisioni strategiche che determinano il successo o il fallimento di un’iniziativa. Attraverso tre esempi pratici, trasformeremo le disequazioni da un esercizio algebrico a una bussola per orientare le scelte aziendali.
Prima di affrontare gli esercizi, è essenziale richiamare i principi teorici fondamentali per la risoluzione di disequazioni che coinvolgono funzioni logaritmiche ed esponenziali. Queste funzioni sono strettamente legate dalla relazione [math]\log_a(b) = c \iff a^c = b[/math], e la loro risoluzione si basa principalmente sulla monotonia (crescenza o decrescenza) e sul rispetto del dominio.
Monotonia del Logaritmo
Il logaritmo [math]\log_a(x)[/math] è definito per [math]x > 0[/math] e [math]a > 0[/math], [math]a \neq 1[/math].
- Se a>1: Il logaritmo è una funzione crescente. Questo implica che, per funzioni [math]f(x)[/math] e [math]g(x)[/math] con [math]f(x) > 0[/math] e [math]g(x) > 0[/math],
[math]\log_a f(x) \geq \log_a g(x) \iff f(x) \geq g(x).[/math]Riferimento teorico: Deriva dalla derivata [math]\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} > 0[/math] per [math]a > 1[/math], confermando la crescenza. Utile in contesti aziendali per confrontare crescite esponenziali (es. tassi di interesse). - Se 0<a<1: Il logaritmo è decrescente, quindi
[math]\log_a f(x) \geq \log_a g(x) \iff f(x) \leq g(x).[/math]Riferimento teorico: La derivata è negativa ([math]\ln a < 0[/math]). Raro in economia, ma utile per modelli di decadimento con basi <1. - Dominio: Sempre verificare [math]f(x)>0[/math], [math]g(x)>0[/math], altrimenti la disequazione è impossibile.
Monotonia dell’Esponenziale
L’esponenziale [math]a^{f(x)}[/math] è definita per ogni [math]f(x) \in \mathbb{R}[/math], con [math]a > 0[/math], [math]a \neq 1[/math].
- Se a>1: Crescente, quindi
[math]a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \iff f(x) \geq g(x).[/math]Riferimento teorico: Derivata [math]\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a > 0[/math]. Applicazione aziendale: modelli di crescita composta (es. interessi, ammortamenti). - Se 0<a<1: Decrescente,
[math]a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \iff f(x) \leq g(x).[/math]Riferimento teorico: [math]\ln a < 0[/math], derivata negativa. Utile per deprezzamenti o saturazioni.
Tecniche generali di risoluzione:
- Isoliare la funzione logaritmica/esponenziale.
- Applicare la monotonia per semplificare.
- Prendere logaritmo (naturale o base 10) per linearizzare, invertendo il segno se necessario (perché [math]\ln[/math] è crescente).
- Rispettare il dominio e verificare soluzioni graficamente o numericamente se trascendente.
In economia aziendale, questi modelli simulano dinamiche reali come compounding, decay o saturazione dei ricavi.
Esercizio 1: Confronto fra Due Investimenti con Interessi Composti
Testo del Problema
Un capitale iniziale [math]C_0[/math] può essere investito in due prodotti finanziari:
- Piano A: Interesse composto annuo al tasso [math]r_A = 5\%[/math].
- Piano B: Interesse composto annuo al tasso [math]r_B = 3\%[/math], con un bonus iniziale del 10% sul capitale (capitale effettivo iniziale: [math]1,1 C_0[/math]).
Determina per quanti anni [math]n[/math] (interi e non) il Piano B rende almeno quanto il Piano A, ovvero quando il valore finale del Piano B è superiore o uguale a quello del Piano A.
Modello Matematico:
[math]V_B(n) \geq V_A(n) \implies 1,1 C_0 (1,03)^n \geq C_0 (1,05)^n.[/math]
Disequazione da Risolvere (Obiettivo: trovare [math]n[/math]):
[math]1,1 (1,03)^n \geq (1,05)^n[/math]
| Passo | Calcolo | Nozione Teorica e Giustificazione |
|---|---|---|
| 1. Separazione Variabili | [math]\displaystyle 1,1 \geq \frac{(1,05)^n}{(1,03)^n}[/math] | Abbiamo diviso entrambi i membri per [math](1,03)^n[/math]. Poiché è sempre positivo (base [math]>0[/math]), il verso della disequazione non cambia. |
| 2. Semplificazione Esponenziale | [math]\displaystyle 1,1 \geq \left( \frac{1,05}{1,03} \right)^n[/math] | Applichiamo la proprietà delle potenze: [math]\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n[/math]. La base è [math]\approx 1,0194 > 1[/math]. |
| 3. Applicazione del Logaritmo | [math]\displaystyle \ln(1,1) \geq \ln\left( \left( \frac{1,05}{1,03} \right)^n \right)[/math] | Prendiamo il Logaritmo Naturale ([math]\ln[/math]). La base [math]e \approx 2,718[/math] è maggiore di 1 ([math]e>1[/math]). Per la monotonia del logaritmo (funzione crescente), il verso della disequazione è preservato. |
| 4. Linearizzazione | [math]\displaystyle \ln(1,1) \geq n \cdot \ln\left( \frac{1,05}{1,03} \right)[/math] | Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza: [math]\log_a (b^n) = n \cdot \log_a b[/math]. Questo ci permette di isolare l'incognita [math]n[/math]. |
| 5. Isolamento della Variabile | [math]\displaystyle n \leq \frac{\ln(1,1)}{\ln\left( \frac{1,05}{1,03} \right)}[/math] | Dividiamo per [math]\ln\left(\frac{1,05}{1,03}\right)[/math]. Poiché l'argomento è [math]>1[/math], il logaritmo è positivo. La divisione per un numero positivo preserva il verso della disequazione. |
| 6. Calcolo Finale | [math]\displaystyle \begin{aligned} n &\leq \frac{0,09531}{0,01923} \approx 4,956 \end{aligned}[/math] | La soluzione è [math]n \leq 4,956[/math] anni. |
Conclusione:
Il Piano B è conveniente fino al compimento di circa 4,96 anni. Dopo, il tasso di crescita superiore del Piano A lo rende più vantaggioso.
Esercizio 2: Ammortamento Esponenziale e Soglia di Dismissione
Testo del Problema
Un macchinario ha valore iniziale [math]V_0=50.000[/math] euro e si deprezza secondo un modello esponenziale: [math]V(t)=V_0 e^{-kt}[/math], con tasso di deprezzamento [math]k=0,25[/math] per anno. L’azienda dismette il bene quando il valore contabile scende sotto [math]12.000[/math] euro. Determina dopo quanti anni [math]t[/math] avviene la dismissione.
Modello Matematico:
[math]V(t) \leq 12.000 \implies 50.000 e^{-0,25t} \leq 12.000.[/math]
Disequazione da Risolvere (Obiettivo: trovare [math]t[/math]):
[math]50.000 e^{-0,25t} \leq 12.000[/math]
| Passo | Calcolo | Nozione Teorica e Giustificazione |
|---|---|---|
| 1. Isolamento Funzione | [math]\displaystyle e^{-0,25t} \leq \frac{12.000}{50.000}[/math] | Dividiamo per [math]50.000[/math]. Poiché il divisore è positivo, il verso della disequazione è preservato. |
| 2. Semplificazione | [math]e^{-0,25t} \leq 0,24[/math] | L'esponenziale ha una base [math]e^{-0,25} < 1[/math], confermando che si tratta di una funzione decrescente (deprezzamento). |
| 3. Applicazione del Logaritmo | [math]\ln(e^{-0,25t}) \leq \ln(0,24)[/math] | Applichiamo il Logaritmo Naturale ([math]\ln[/math]). La base [math]e>1[/math], quindi il [math]\ln[/math] è crescente e preserva il verso. |
| 4. Linearizzazione | [math]-0,25t \leq \ln(0,24)[/math] | Usiamo la proprietà inversa [math]\ln(e^A)=A[/math]. |
| 5. Isolamento della Variabile | [math]\displaystyle t \geq \frac{\ln(0,24)}{-0,25}[/math] | Dividiamo entrambi i membri per [math]-0,25[/math] (numero negativo). Per la proprietà delle disequazioni, la divisione per un negativo inverte il verso ([math]\leq[/math] diventa [math]\geq[/math]). |
| 6. Calcolo Finale | [math]\displaystyle \begin{aligned} t &\geq \frac{-1,4271}{-0,25} \approx 5,7084 \end{aligned}[/math] | La soluzione è [math]t \geq 5,71[/math] anni. |
Conclusione:
La dismissione avverrà quando il macchinario avrà raggiunto circa 5 anni e 8 mesi ([math]5,71[/math] anni), momento in cui il suo valore residuo scenderà sotto la soglia critica.
Esercizio 3: Soglia di Convenienza con Ricavi Saturanti
Testo del Problema
Il ricavo totale [math]R(q)[/math] di un prodotto segue un modello saturante: [math]R(q)=120.000(1-e^{-0,04q})[/math]. I costi totali sono lineari: [math]C(q)=30.000+500q[/math] (Costi fissi [math]F=30.000[/math] e costo variabile unitario [math]c=500[/math]). Determina per quali quantità prodotte [math]q \geq 0[/math] l’attività è in utile, ovvero [math]R(q) \geq C(q)[/math].
Modello Matematico:
[math]120.000(1-e^{-0,04q}) \geq 30.000+500q.[/math]
Disequazione da Risolvere (Obiettivo: trovare [math]q[/math]):
[math]120.000(1-e^{-0,04q}) \geq 30.000+500q[/math]
| Passo | Calcolo | Nozione Teorica e Giustificazione |
|---|---|---|
| 1. Riordino (Profitto [math]\geq 0[/math]) | [math]90.000 - 120.000 e^{-0,04q} - 500q \geq 0[/math] | Svolgiamo i calcoli e portiamo tutti i termini a sinistra. Il problema è trovare [math]q[/math] dove Ricavi - Costi [math]\geq 0[/math]. |
| 2. Isolamento Esponenziale | [math]-120.000 e^{-0,04q} \geq 500q - 90.000[/math] | Isolare il termine esponenziale. |
| 3. Inversione Segno/Verso | [math]120.000 e^{-0,04q} \leq 90.000 - 500q[/math] | Moltiplichiamo per [math]-1[/math] e, quindi, invertiamo il verso della disequazione. |
| 4. Condizione di Esistenza | [math]90.000 - 500q > 0 \implies q < 180[/math] | Poiché l'LHS è sempre positivo, l'RHS deve essere positivo. Questo ci dà un dominio massimo di interesse: [math]0 \leq q < 180[/math]. |
| 5. Semplificazione del Modello | [math]\displaystyle \begin{aligned} e^{-0,04q} &\leq \frac{3}{4} - \frac{q}{240} \end{aligned}[/math] | Dividiamo per [math]120.000[/math]. Otteniamo una disequazione trascendente (esponenziale contro lineare) non risolvibile con metodi algebrici standard. |
| 6. Analisi Qualitativa | Confronto [math]f(q)=e^{-0,04q}[/math] (LHS) con [math]g(q)=0,75-q/240[/math] (RHS). | Si analizza se le due curve si intersecano, ovvero se esiste un punto di pareggio [math]q_{BE}[/math]. |
| 7. Risultato Numerico/Grafico | [math]\displaystyle \begin{aligned} \text{A } q=0: & 1>0,75 \quad (\text{LHS > RHS}) \\ \text{A } q=180: & e^{-7,2} \approx 0,00075>0 \quad (\text{LHS > RHS}) \end{aligned}[/math] | La curva esponenziale si trova sempre sopra la retta nel dominio [math]0 \leq q < 180[/math]. Pertanto, la condizione [math]\text{LHS} \leq \text{RHS}[/math] (che equivale a [math]R(q) \geq C(q)[/math]) non è mai soddisfatta. |
Conclusione:
Non esiste alcuna quantità di produzione [math]q[/math] per cui l’attività generi utile. L’azienda è sempre in perdita con questi parametri. Economica: i costi fissi sono troppo alti rispetto al ricavo massimo che il prodotto può generare.
Come si vede, la curva dei ricavi [math]R(q)=120.000(1-e^{-0,04q})[/math] cresce rapidamente ma tende a un valore massimo (120.000 €), mentre la retta dei costi [math]C(q)=30.000+500q[/math] aumenta indefinitamente.
Poiché le due curve non si intersecano, non esiste alcun punto in cui [math]R(q) \geq C(q)[/math]: l’impresa resta sempre in perdita.
Commento Applicativo agli Esercizi
Esercizio 1: Confronto fra Due Investimenti
- Questo esercizio simula una decisione comune per un analista finanziario o un piccolo imprenditore. La scelta non è ovvia: l’istinto potrebbe favorire il Piano B per via del bonus immediato del 10%. Tuttavia, la matematica dimostra che un tasso di crescita superiore, anche se piccolo, è un vantaggio dinamico che nel tempo sconfigge sempre un vantaggio statico (il bonus). La soluzione
n ≈ 4.96anni rappresenta il punto di svolta (tipping point), un momento critico dopo il quale la decisione ottimale si inverte. - La Tirannia dell’Interesse Composto: Dimostra in modo lampante come la potenza della capitalizzazione composta renda il tasso di interesse il fattore dominante nel lungo periodo.
- Visualizzazione del Trade-off: Mette in luce il classico trade-off economico tra un beneficio immediato (bonus) e un guadagno futuro maggiore (tasso più alto). È un modello applicabile non solo alla finanza, ma anche a carriere, marketing e tecnologia.
Esercizio 2: Ammortamento Esponenziale
- Questo è un caso d’uso tipico per un responsabile delle operazioni o un controller di gestione. Il valore di
t ≈ 5.71anni non è un semplice numero, ma un’informazione che innesca azioni concrete: pianificare il budget per un nuovo macchinario, cercare offerte sul mercato, organizzare la logistica per la sostituzione. Il modello di deprezzamento esponenziale è più realistico di quello lineare perché riflette come un bene perda più valore nei suoi primi anni di vita. - Dalla Matematica Continua alla Decisione Discreta: L’esercizio mostra come un modello continuo (
e^x) venga usato per prendere una decisione binaria e calendarizzata (sostituire/non sostituire). - Inversione del Verso: Il passaggio 5, dove si divide per un numero negativo (
-0.25) invertendo il verso, ha un’importante interpretazione logica: stiamo cercando un tempo minimo (t ≥ ...) perché il valore scenda sotto una soglia. La matematica riflette perfettamente la logica del problema.
Esercizio 3: Soglia di Convenienza con Ricavi Saturanti
- Questo scenario è il più complesso e strategico, rilevante per un CEO, uno stratega di prodotto o un data scientist che modella la domanda di mercato. Il risultato — che l’attività non è mai in utile — è controintuitivo e potentissimo. Senza un’analisi matematica, un’azienda potrebbe continuare a investire in produzione e marketing, sperando di raggiungere un punto di pareggio che in realtà non esiste. L’analisi impedisce di sprecare risorse.
- La Disequazione Trascendente: A differenza degli altri, questo problema non ha una soluzione algebrica pulita. Rappresenta la maggior parte dei problemi reali, dove le funzioni che descrivono i fenomeni (ricavi e costi) non sono omogenee. Richiede un’analisi qualitativa o numerica, avvicinandosi al lavoro di un analista di dati.
- Il Concetto di “Asintoto” come Limite di Business: Il ricavo
R(q)ha un asintoto orizzontale a 120.000. Questo è il “tetto” massimo di ricavo che l’azienda può generare, indipendentemente da quanto produce. L’esercizio dimostra che se i costi fissi e variabili sono tali che il costo totale supera questo tetto, il modello di business è intrinsecamente fallimentare. È una lezione di strategia fondamentale.
📐 Logaritmi & Disequazioni logaritmiche
- 👉 I logaritmi – teoria e proprietà
- 👉 Esercizi sui logaritmi – svolti e commentati
- 👉 Disequazioni logaritmiche – guida introduttiva
- 👉 Disequazioni logaritmiche – guida + 6 esercizi svolti
- 👉 Tutto sulle disequazioni (parte III): logaritmi inclusi
- 👉 Logaritmi, scala Richter e terremoti
- 👉 Nepero e Laplace – l’ispirazione poetica dei logaritmi
- 👉 Disequazioni logaritmiche & esponenziali – 6 esercizi pratici per economia aziendale
(65)
Altri articoli nella categoria "Esercizi svolti di Microeconomia"
- Teoria dei Giochi per la Negoziazione Aziendale: Guida Pratica con Esercizi su ZOPA, Nash e Logrolling
- Indice di Laspeyres: formula, significato ed esercizi svolti
- Teoria dei Giochi e Informazione Incompleta: Segnalazione, Equilibrio Bayesiano e Reputazione Aziendale
- Teoria dei Giochi e ingresso nel mercato: Nash, minacce credibili e commitment
- Break-Even Point nel Franchising: Calcolo Avanzato, Automazione e Royalty (con Modelli in Python)
- Break-Even Point nel franchising: formule, margine di contribuzione ed esercizi
- Microeconomia applicata: choke price, domanda esponenziale, segmentazione e prezzo ottimale – Parte 2
- Microeconomia applicata: choke price, prezzo di riserva massimo e prezzo ottimale
- Domanda non lineare in microeconomia: equilibrio, elasticità e surplus
- Microeconomia Computazionale: Come la Domanda di Mercato Emerge dai Comportamenti Individuali