Gli integrali possono sembrare una montagna astratta, un insieme di regole da memorizzare per superare un esame. Ma cosa succede se li vediamo come attrezzi in una cassetta, ognuno con uno scopo preciso per costruire qualcosa di concreto? Un integrale può misurare l’acqua che riempie una diga, descrivere l’energia accumulata in un circuito o persino calcolare l’area di un’ala d’aereo.
Questo articolo non è una semplice lista di problemi, ma un percorso di allenamento pensato per darti la manualità necessaria.
Partiremo con un bullone semplice, usando il Teorema Fondamentale come una chiave inglese, per poi passare a strumenti più sofisticati: la sostituzione, l’integrazione per parti, fino ad arrivare a gestire situazioni complesse come le funzioni con valore assoluto.
Ogni esercizio è una sfida progressiva, con una spiegazione chiara che non ti lascia mai solo.
Allaccia le scarpe, è ora di iniziare la scalata.
Esercizio 1 (Facile) – Applicazione del Teorema Fondamentale del Calcolo
Testo:
Un serbatoio d’acqua perde liquido a una velocità data da [math]v(t)=0.5t^2-4t+6[/math] litri al minuto, dove [math]t[/math] è il tempo in minuti. Calcolare quanti litri d’acqua sono stati persi complessivamente tra [math]t=1[/math] e [math]t=3[/math] minuti.
Risoluzione:
Passo 1: Interpretazione del problema.
La quantità totale di acqua persa è data dall’integrale definito della velocità di perdita (che è una portata) rispetto al tempo.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Acqua persa} &= \int_{1}^{3}(0.5t^2-4t+6) \, dt
\end{aligned}[/math]
Passo 2: Calcolo della primitiva.
Troviamo una primitiva [math]F(t)[/math] della funzione integranda.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
F(t) &= \int(0.5t^2-4t+6) \, dt \\
&= 0.5 \cdot \frac{t^3}{3}-4 \cdot \frac{t^2}{2}+6t+C \\
&= \frac{t^3}{6}-2t^2+6t+C
\end{aligned}[/math]
Passo 3: Applicazione del Teorema Fondamentale del Calcolo.
Il teorema afferma che [math]\int_{a}^{b}f(t) \, dt=F(b)-F(a)[/math].
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int_{1}^{3}(0.5t^2-4t+6) \, dt &= F(3)-F(1)
\end{aligned}[/math]
Calcoliamo separatamente:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
F(3) &= \frac{3^3}{6}-2(3)^2+6(3) \\
&= \frac{27}{6}-18+18 \\
&= 4.5
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
F(1) &= \frac{1^3}{6}-2(1)^2+6(1) \\
&= \frac{1}{6}-2+6 \\
&= 4+\frac{1}{6} \\
&= \frac{25}{6} \approx 4.1667
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Risultato finale.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Acqua persa} &= 4.5-\frac{25}{6} \\
&= \frac{27}{6}-\frac{25}{6} \\
&= \frac{2}{6} \\
&= \frac{1}{3} \quad \text{litri}
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione:
L’integrale definito di una “velocità” (di variazione) fornisce la variazione netta della quantità originale (in questo caso, il volume d’acqua). Il risultato frazionario è realistico e mostra che l’integrale può essere calcolato anche quando la funzione integranda cambia segno (in questo caso, la velocità di perdita è diventata negativa in un tratto, significando un riempimento? Controlla il grafico di [math]v(t)[/math]!).
Domanda di Riflessione: Perché nel calcolo dell’integrale definito la costante additiva [math]C[/math] si elimina?
Esercizio 2 (Facile/Medio) – Integrazione per Sostituzione Semplice
Testo:
Calcolare l’integrale indefinito: [math]\int 3x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math].
Risoluzione:
Passo 1: Scelta della sostituzione.
Notiamo che la derivata di [math]x^3+1[/math] è [math]3x^2[/math], che è proprio un fattore presente nell’integrale. Questo è il caso ideale per una sostituzione.
Poniamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
u &= x^3+1 \\
\Rightarrow du &= 3x^2 \, dx
\end{aligned}[/math]
Passo 2: Sostituzione nell’integrale.
Sostituendo, otteniamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int 3x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx &= \int \sqrt{u} \, du \\
&= \int u^{1/2} \, du
\end{aligned}[/math]
Passo 3: Integrazione nella variabile [math]u[/math].
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int u^{1/2} \, du &= \frac{u^{3/2}}{3/2}+C \\
&= \frac{2}{3}u^{3/2}+C
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Ritorno alla variabile [math]x[/math].
Sostituiamo nuovamente [math]u=x^3+1[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int 3x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx &= \frac{2}{3}(x^3+1)^{3/2}+C
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione:
La sostituzione è efficace quando la derivata della funzione interna ([math]du[/math]) compare esattamente come fattore nell’integranda (a meno di una costante). Questo metodo “semplifica” l’integrale riconducendolo a una forma base.
Domanda di Riflessione: Cosa sarebbe successo se nell’integrale ci fosse stato solo [math]\int x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math] invece di [math]\int 3x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math]? Come avresti proceduto?
Esercizio 3 (Medio) – Integrazione per Parti ([math]\int f \cdot g'[/math])
Testo:
Determinare l’integrale indefinito: [math]\int x e^{2x} \, dx[/math].
Risoluzione:
Passo 1: Scelta di [math]f(x)[/math] e [math]g'(x)[/math].
La formula di integrazione per parti è: [math]\int f(x)g'(x) \, dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) \, dx[/math].
Scegliamo:
- [math]f(x)=x[/math] (funzione che si semplifica derivando: [math]f'(x)=1[/math])
- [math]g'(x)=e^{2x}[/math] (funzione facile da integrare)
Passo 2: Calcolo di [math]g(x)[/math].
[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x) &= \int g'(x) \, dx \\
&= \int e^{2x} \, dx \\
&= \frac{1}{2}e^{2x}
\end{aligned}[/math]
Passo 3: Applicazione della formula.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int x e^{2x} \, dx &= f(x) \cdot g(x)-\int f'(x) \cdot g(x) \, dx \\
&= x \cdot \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)-\int 1 \cdot \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) \, dx \\
&= \frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x} \, dx
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Completamento del calcolo.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int x e^{2x} \, dx &= \frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x}+C \\
&= \frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C \\
&= \frac{e^{2x}}{4}(2x-1)+C
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione:
La scelta di [math]f[/math] e [math]g'[/math] è cruciale. Seguire la regola mnemonica LIATE (Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali) aiuta: le funzioni Algebriche (come [math]x[/math]) sono preferibili come [math]f[/math] rispetto alle Esponenziali (come [math]e^{2x}[/math]) come [math]g'[/math].
Domanda di Riflessione: Cosa sarebbe successo se avessimo scelto [math]f(x)=e^{2x}[/math] e [math]g'(x)=x[/math]? Prova a applicare la formula per parti con questa scelta e verifica se si arriva a un risultato.
Esercizio 4 (Medio/Difficile) – Integrazione di Funzione Razionale con Fratti Semplici
Testo:
Calcolare l’integrale definito: [math]\int_{2}^{3} \frac{x-5}{x^2-5x+6} \, dx[/math].
Risoluzione:
Passo 1: Fattorizzazione del denominatore.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-5x+6 &= (x-2)(x-3)
\end{aligned}[/math]
Passo 2: Scomposizione in Fratti Parziali.
Cerchiamo [math]A[/math] e [math]B[/math] tali che:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{x-5}{(x-2)(x-3)} &= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}
\end{aligned}[/math]
Moltiplicando entrambi i membri per [math](x-2)(x-3)[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x-5 &= A(x-3)+B(x-2) \\
x-5 &= Ax-3A+Bx-2B \\
x-5 &= (A+B)x+(-3A-2B)
\end{aligned}[/math]
Passo 3: Sistema per [math]A[/math] e [math]B[/math].
Uguagliando i coefficienti:
[math]\displaystyle \begin{cases}
A+B=1 \\
-3A-2B=-5
\end{cases}[/math]
Dalla prima: [math]B=1-A[/math].
Sostituendo nella seconda:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
-3A-2(1-A) &= -5 \\
-3A-2+2A &= -5 \\
-A &= -3 \\
A &= 3
\end{aligned}[/math]
Allora [math]B=1-3=-2[/math].
Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{x-5}{x^2-5x+6} &= \frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-3}
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Integrazione.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int_{2}^{3} \frac{x-5}{x^2-5x+6} \, dx &= \int_{2}^{3}\left(\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-3}\right)dx \\
&= [3\ln|x-2|-2\ln|x-3|]_{2}^{3}
\end{aligned}[/math]
Passo 5: Valutazione (Attenzione agli asintoti verticali!).
L’integrale è improprio perché la funzione non è definita in [math]x=2[/math] e [math]x=3[/math], che sono gli estremi di integrazione. Dobbiamo calcolarlo come limite.
L’antiderivata è [math]F(x) = 3\ln|x-2|-2\ln|x-3|[/math].
Quando [math]x \to 2^+[/math], [math]3\ln|x-2| \to -\infty[/math].
Quando [math]x \to 3^-[/math], [math]-2\ln|x-3| \to -2(-\infty) = +\infty[/math].
L’integrale diverge.
💡 Osservazione:
Non tutti gli integrali di funzioni razionali convergono! È fondamentale controllare il comportamento della funzione near gli estremi di integrazione (in questo caso, asintoti verticali agli estremi). La divergenza è logaritmica.
Domanda di Riflessione: Perché, nonostante i fratti parziali diano luogo a funzioni integrabili (logaritmi), l’integrale definito in questo intervallo specifico non esiste?
Esercizio 5 (Difficile) – Integrazione per Sostituzione Trigonometrica
Testo:
Calcolare l’integrale indefinito: [math]\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+9}}[/math].
Risoluzione:
Passo 1: Scelta della sostituzione.
Riconosciamo una forma del tipo [math]\sqrt{x^2+a^2}[/math], con [math]a=3[/math]. La sostituzione standard è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x &= 3\tan(\theta) \\
\Rightarrow dx &= 3\sec^2(\theta) \, d\theta
\end{aligned}[/math]
Passo 2: Sostituzione nell’integrale.
Sostituendo le parti:
- [math]x^2=9\tan^2(\theta)[/math]
- [math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{x^2+9} &= \sqrt{9\tan^2(\theta)+9} \\
&= \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)} \\
&= \sqrt{9\sec^2(\theta)} \\
&= 3\sec(\theta)
\end{aligned}[/math]
Sostituendo nell’integrale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+9}} &= \int \frac{3\sec^2(\theta) \, d\theta}{(9\tan^2(\theta)) \cdot (3\sec(\theta))} \\
&= \int \frac{3\sec^2(\theta) \, d\theta}{27\tan^2(\theta)\sec(\theta)} \\
&= \frac{1}{9}\int \frac{\sec(\theta)}{\tan^2(\theta)} \, d\theta
\end{aligned}[/math]
Passo 3: Semplificazione trigonometrica.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\sec(\theta)}{\tan^2(\theta)} &= \frac{1/\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)/\cos^2(\theta)} \\
&= \frac{\cos^2(\theta)}{\cos(\theta)\sin^2(\theta)} \\
&= \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} \\
&= \cot(\theta)\csc(\theta)
\end{aligned}[/math]
Quindi l’integrale diventa:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1}{9}\int \cot(\theta)\csc(\theta) \, d\theta
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Integrazione.
Ricordiamo che la derivata di [math]\csc(\theta)[/math] è [math]-\csc(\theta)\cot(\theta)[/math]. Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int \cot(\theta)\csc(\theta) \, d\theta &= -\csc(\theta)+C
\end{aligned}[/math]
Di conseguenza:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1}{9}\int \cot(\theta)\csc(\theta) \, d\theta &= -\frac{1}{9}\csc(\theta)+C
\end{aligned}[/math]
Passo 5: Ritorno alla variabile [math]x[/math].
Da [math]x=3\tan(\theta)[/math], costruiamo un triangolo rettangolo:
- Lato opposto: [math]x[/math]
- Lato adiacente: [math]3[/math]
- Ipotenusa: [math]\sqrt{x^2+9}[/math]
Allora [math]\csc(\theta)=\frac{\text{ipotenusa}}{\text{opposto}}=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x}[/math].
Sostituendo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+9}} &= -\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{x^2+9}}{x}+C
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione:
La sostituzione trigonometrica è uno strumento potente per eliminare le radici quadrate di forme come [math]a^2\pm x^2[/math] o [math]x^2-a^2[/math]. Il passaggio chiave è disegnare il triangolo rettangolo per ritornare alla variabile originale.
Domanda di Riflessione: Quale sostituzione trigonometrica avresti usato se la radice fosse stata [math]\sqrt{x^2-9}[/math] (con [math]x>3[/math])?
Esercizio 6 (Molto Difficile) – Integrazione di una Funzione con Valore Assoluto
Testo:
Calcolare l’integrale definito: [math]\int_{-2}^{4} |x^2-x-2| \, dx[/math].
Risoluzione:
Passo 1: Studio del segno dell’argomento del valore assoluto.
[math]f(x)=x^2-x-2[/math]. Troviamo le radici:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-x-2 &= 0 \\
\Rightarrow (x-2)(x+1) &= 0 \\
\Rightarrow x&=-1, \quad x=2
\end{aligned}[/math]
La parabola è concava verso l’alto, quindi:
- [math]f(x) \geq 0[/math] per [math]x \leq -1[/math] o [math]x \geq 2[/math]
- [math]f(x) < 0[/math] per [math]-1 < x < 2[/math]
Passo 2: Definizione a tratti dell’integranda.
Ricordando che [math]|A|=A[/math] se [math]A \geq 0[/math] e [math]|A|=-A[/math] se [math]A < 0[/math]:
[math]\displaystyle |x^2-x-2| = \begin{cases}
x^2-x-2, & \text{se } x \leq -1 \text{ o } x \geq 2 \\
-(x^2-x-2)=-x^2+x+2, & \text{se } -1 < x < 2
\end{cases}[/math]
Passo 3: Suddivisione dell’integrale.
L’intervallo di integrazione [math][-2, 4][/math] deve essere spezzato nei punti [math]x=-1[/math] e [math]x=2[/math].
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int_{-2}^{4} |x^2-x-2| \, dx &= \int_{-2}^{-1}(x^2-x-2) \, dx \\
&{}+ \int_{-1}^{2}(-x^2+x+2) \, dx \\
&{}+ \int_{2}^{4}(x^2-x-2) \, dx
\end{aligned}[/math]
Passo 4: Calcolo dei tre integrali.
Le primitive sono: [math]\int(x^2-x-2) \, dx = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x[/math] e [math]\int(-x^2+x+2) \, dx = -\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x[/math].
Primo integrale: [math]\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right]_{-2}^{-1}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Per } x=-1: &\quad -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 = \frac{-2-3+12}{6} = \frac{7}{6} \\
\text{Per } x=-2: &\quad -\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4 = -\frac{8}{3}-2+4 = -\frac{8}{3}+2 = -\frac{2}{3}
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Risultato:} &\quad \frac{7}{6}-\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{7}{6}+\frac{4}{6} = \frac{11}{6}
\end{aligned}[/math]
Secondo integrale: [math]\displaystyle \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Per } x=2: &\quad -\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4 = -\frac{8}{3}+6 = \frac{-8+18}{3} = \frac{10}{3} \\
\text{Per } x=-1: &\quad \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2+3-12}{6} = -\frac{7}{6}
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Risultato:} &\quad \frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6}+\frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
\end{aligned}[/math]
Terzo integrale: [math]\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right]_{2}^{4}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Per } x=4: &\quad \frac{64}{3}-\frac{16}{2}-8 = \frac{64}{3}-16 = \frac{64-48}{3} = \frac{16}{3} \\
\text{Per } x=2: &\quad \frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4 = \frac{8}{3}-6 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3}
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Risultato:} &\quad \frac{16}{3}-\left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{26}{3}
\end{aligned}[/math]
Passo 5: Somma finale.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int_{-2}^{4} |x^2-x-2| \, dx &= \frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{26}{3} \\
&= \frac{11}{6}+\frac{27}{6}+\frac{52}{6} \\
&= \frac{11+27+52}{6} \\
&= \frac{90}{6} \\
&= 15
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione:
Per integrare una funzione con valore assoluto, il primo e fondamentale passo è rimuovere il modulo, studiando il segno dell’argomento e spezzando l’integrale di conseguenza. L’integrale del valore assoluto corrisponde alla somma delle aree dei sottografici, prese sempre positive.
Domanda di Riflessione: Questo integrale corrisponde al calcolo dell’area della regione di piano delimitata dalla parabola [math]y=x^2-x-2[/math] e dall’asse [math]x[/math], tra [math]x=-2[/math] e [math]x=4[/math]. Perché per calcolare l’area è necessario usare il valore assoluto?
📘 Calcolo Integrale
- 🔴 Tabella degli integrali
- 🔴 Schema breve per affrontare i diversi tipi di integrazione
- 🔴 Integrali risolvibili con le regole e formule base – esercizi svolti
- 🔴 Metodi di integrazione spiegati facilmente – esercizi passo passo
- 🔴 Calcolo della media integrale e area per funzioni a tratti – esercizi svolti
- 🔴 Metodi di risoluzione degli integrali – esercizi pratici e applicazioni reali
- 🔴 Esercizio risolto – calcolo integrale definito con parametro
Risposte alle Domande di Riflessione
Esercizio 1: Teorema Fondamentale del Calcolo
Domanda:
Perché nel calcolo dell’integrale definito la costante additiva [math]C[/math] si elimina?
Risposta:
La costante di integrazione [math]C[/math] si elimina perché stiamo applicando il Teorema Fondamentale del Calcolo nella forma:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int_{a}^{b}f(x) \, dx &= F(b)-F(a)
\end{aligned}[/math]
dove [math]F(x)[/math] è una qualsiasi primitiva di [math]f(x)[/math].
Se [math]F(x)[/math] è una primitiva, allora anche [math]F(x)+C[/math] lo è, per qualsiasi costante [math]C[/math]. Quando calcoliamo la differenza per valutare l’integrale definito, la costante si annulla:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
[F(b)+C]-[F(a)+C] &= F(b)+C-F(a)-C \\
&= F(b)-F(a)
\end{aligned}[/math]
Significato profondo: L’integrale definito misura la variazione netta della primitiva tra [math]a[/math] e [math]b[/math]. Questa variazione dipende solo dalla “forma” della funzione, non dalla sua posizione verticale sull’asse delle ordinate, che è proprio ciò che la costante [math]C[/math] determina.
Esercizio 2: Integrazione per Sostituzione
Domanda:
Cosa sarebbe successo se nell’integrale ci fosse stato solo [math]\int x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math] invece di [math]\int 3x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math]?
Risposta:
Se l’integrale fosse stato [math]\int x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx[/math], avremmo proceduto in modo simile, ma con un “aggiustamento di costante”:
1. Sostituzione: [math]u=x^3+1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]du=3x^2 \, dx[/math]
2. Aggiustamento: Notiamo che nell’integrale manca il fattore 3. Possiamo esprimere [math]x^2 \, dx[/math] in funzione di [math]du[/math] isolando la variabile:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2 \, dx &= \frac{1}{3}du
\end{aligned}[/math]
3. Integrazione: L’integrale diventa:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3}du &= \frac{1}{3}\int u^{1/2} \, du \\
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C \\
&= \frac{2}{9}u^{3/2}+C
\end{aligned}[/math]
4. Risultato: [math]\frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2}+C[/math]
Osservazione: Quando la derivata della funzione interna non compare esattamente ma solo in parte (a meno di una costante moltiplicativa), possiamo “aggiustare le costanti” moltiplicando e dividendo per il fattore numerico mancante.
Esercizio 3: Integrazione per Parti
Domanda:
Cosa sarebbe successo se avessimo scelto [math]f(x)=e^{2x}[/math] e [math]g'(x)=x[/math]?
Risposta:
Provando questa scelta alternativa avremmo ottenuto:
- [math]f(x)=e^{2x}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f'(x)=2e^{2x}[/math]
- [math]g'(x)=x[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]g(x)=\frac{x^2}{2}[/math]
Applicando la formula di integrazione per parti:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\int x e^{2x} \, dx &= e^{2x} \cdot \frac{x^2}{2}-\int 2e^{2x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx \\
&= \frac{x^2e^{2x}}{2}-\int x^2e^{2x} \, dx
\end{aligned}[/math]
Problema: Ora ci troviamo con un integrale [math]\int x^2e^{2x} \, dx[/math] che è più complicato di quello originale [math]\int x e^{2x} \, dx[/math]! Abbiamo aumentato il grado del polinomio ([math]x^2[/math] invece di [math]x[/math]) invece di ridurlo.
Conclusione: La scelta iniziale ([math]f(x)=x[/math], [math]g'(x)=e^{2x}[/math]) era corretta perché faceva “scomparire” la parte polinomiale derivando. La regola mnemonica LIATE (che pone le funzioni Algebriche come [math]f[/math] rispetto alle Esponenziali) ci guida proprio verso questa scelta ottimale.
Esercizio 4: Integrale Improprio (Fratti Semplici)
Domanda:
Perché l’integrale definito in questo intervallo specifico non esiste?
Risposta:
L’integrale [math]\int_{2}^{3} \frac{x-5}{x^2-5x+6} \, dx[/math] diverge perché la funzione integranda ha asintoti verticali in entrambi gli estremi di integrazione ([math]x=2[/math] e [math]x=3[/math]), e quindi è un integrale improprio non convergente.
La scomposizione in fratti semplici ci ha dato:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{x-5}{x^2-5x+6} &= \frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-3}
\end{aligned}[/math]
L’antiderivata è [math]F(x) = 3\ln|x-2|-2\ln|x-3|[/math]. Quando valutiamo i limiti:
- Per [math]x \to 2^+[/math], il termine [math]3\ln|x-2|[/math] tende a [math]-\infty[/math].
- Per [math]x \to 3^-[/math], il termine [math]-2\ln|x-3|[/math] tende a [math]-2(-\infty) = +\infty[/math].
La forma che si ottiene è del tipo “[math]-\infty + \infty[/math]”. In questo caso, le singolarità (divergenze logaritmiche) sono troppo “forti” e non si compensano perfettamente (non danno un valore finito). L’integrale non converge a un valore numerico finito.
Esercizio 5: Sostituzione Trigonometrica
Domanda:
Quale sostituzione trigonometrica avresti usato se la radice fosse stata [math]\sqrt{x^2-9}[/math] (con [math]x>3[/math])?
Risposta:
Per integrali contenenti [math]\sqrt{x^2-a^2}[/math] con [math]x>a>0[/math], la sostituzione standard è quella che utilizza la secante:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x &= a\sec(\theta) \\
\text{Nel nostro caso:} \quad x &= 3\sec(\theta)
\end{aligned}[/math]
Giustificazione:
Questa sostituzione è scelta perché sfrutta l’identità trigonometrica [math]\sec^2(\theta) – 1 = \tan^2(\theta)[/math], che permette di eliminare la radice quadrata:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{x^2-9} &= \sqrt{(3\sec(\theta))^2-9} \\
&= \sqrt{9\sec^2(\theta)-9} \\
&= \sqrt{9(\sec^2(\theta)-1)} \\
&= \sqrt{9\tan^2(\theta)} \\
&= 3\tan(\theta) \quad (\text{poiché } x>3 \Rightarrow \tan(\theta)>0)
\end{aligned}[/math]
Esercizio 6: Integrale con Valore Assoluto (Area)
Domanda:
Perché per calcolare l’area è necessario usare il valore assoluto?
Risposta:
Esiste una differenza fondamentale tra:
- Integrale Definito ([math]\int_{a}^{b}f(x) \, dx[/math]): Misura l’area con segno. Le regioni sopra l’asse [math]x[/math] contribuiscono positivamente, e le regioni sotto l’asse [math]x[/math] contribuiscono negativamente (si sottraggono al totale).
- Area Geometrica Totale ([math]\int_{a}^{b}|f(x)| \, dx[/math]): È per definizione una quantità sempre positiva. Per calcolare l’area totale, dobbiamo assicurarci che ogni porzione dell’area sia contata positivamente.
Nell’Esercizio 6, la parabola [math]y=x^2-x-2[/math] passa sotto l’asse [math]x[/math] nell’intervallo [math](-1, 2)[/math].
Se avessimo calcolato [math]\int_{-2}^{4}(x^2-x-2) \, dx[/math] (senza modulo), avremmo ottenuto la variazione netta (risultato quasi certamente più piccolo di 15, perché una porzione si sarebbe sottratta).
Usando il valore assoluto, invece, nell’intervallo negativo [math](-1, 2)[/math] l’integranda diventa [math]-f(x)[/math], il che rende la funzione positiva. Questo garantisce che tutte le aree si sommino positivamente, fornendo la vera area geometrica totale (che è appunto 15).
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