Combinazioni semplici

Dato un insieme di n elementi, si dicono combinazioni semplici degli n elementi presi a k a k (o di classe k) k <= n tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n dell’insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l’ordine degli elementi).
Da notare la differenza fra disposizioni e combinazioni (semplici): mentre nelle disposizioni si tiene conto dell’ordine, nelle combinazioni semplici,invece, si considerano distinti solo quando due i raggruppamenti differiscono almeno per un elemento.

Per determinare il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, e che indichiamo con il
simbolo C_{n, k}, ci serviamo della formula:

                                                       C_{n, k}    = D_n,k/P_k

ossia:

(*)

Da questa formula si ricava che il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è dato dal quoziente di k fattori interi, consecutivi,
decrescenti a partire da n ed il prodotto di k fattori interi, consecutivi, decrescenti, a partire da k.

La (*) la possiamo scrivere anche sotto un’altra forma; infatti, moltiplicando numeratore e denominatore per il fattore (n – k)! si ottiene:

Essendo il numeratore di questa frazione uguale ad n!, possiamo scrivere:

(595)