Disposizioni con ripetizione

Consideriamo un insieme costituito n elementi distinti ed un numero naturale k senza alcuna limitazione superiore. Il problema che ci
poniamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti prendendo k oggetti in modo che:

a) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti ed uno stesso oggetto può figurare, ripetuto, fino ad un massimo di k volte;

b) due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati, oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

Il numero delle disposizioni con ripetizione si indica con il simbolo D’_{n, k} e si dimostra che tale numero è dato da:
                                                                        D’n,k = n ^k.

ESEMPIO:

determiniamo quanti numeri diversi di tre cifre si possono formare con le nove cifre significative. È evidente che si tratta di disposizioni con ripetizione di 9 elementi della classe 3, per cui è:
D’_9,3 = 9 ³ = 729.

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