Test di Calcolo Combinatorio: Esercizi Svolti sulle Permutazioni (Base e Avanzati)

Che differenza c’è tra esporre 3 prodotti in una vetrina e far sedere 8 persone a un tavolo rotondo? 🤯

La matematica dietro a queste scelte si chiama calcolo combinatorio e, anche se non ce ne accorgiamo, la usiamo tutti i giorni per organizzare turni, creare password o pianificare percorsi.

Ho preparato un test di autovalutazione in 10 domande (dalle basi fino a casi decisamente più “tosti”) per mettere alla prova la tua logica. Non è la solita lista di formule da imparare a memoria, ma un esercizio di ragionamento con soluzioni spiegate passo dopo passo.

Quanti punti riesci a fare senza sbirciare le risposte? ✍️ 👇

Q1. [Facile]

Un piccolo e-commerce ha 3 prodotti in vetrina: un libro, un mouse e una cover. In quanti modi diversi può disporli in fila orizzontale sulla home page?

• [ ] A) 3
• [ ] B) 6
• [ ] C) 9
• [ ] D) 27

💡 Domanda di riflessione: Se la vetrina avesse 5 prodotti, quale formula useresti?

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Q2. [Facile/Medio]

In un torneo di e-sport, 8 giocatori si sfidano in una fase a eliminazione diretta. Per stilare il tabellone, si decide di sorteggiare l’ordine in cui i loro nomi compaiono in una lista. Quanti sono i possibili ordinamenti distinti?

• [ ] A) 8
• [ ] B) 64
• [ ] C) [math]8![/math]
• [ ] D) [math]2^8[/math]

💡 Domanda di riflessione: Cosa rappresenta il simbolo “!” (fattoriale) in questo contesto?

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Q3. [Medio]

Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “MAMMA”?

• [ ] A) 120
• [ ] B) 60
• [ ] C) 20
• [ ] D) 10

💡 Domanda di riflessione: Perché non possiamo usare semplicemente [math]5![/math] in questo caso?

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Q4. [Medio]

Un’azienda deve assegnare 4 progetti identici a 3 team, ma ogni team può ricevere al massimo un progetto. In quanti modi può farlo? (Suggerimento: pensa a come permutare gli elementi con ripetizione o alla logica delle combinazioni).

• [ ] A) 12
• [ ] B) 24
• [ ] C) 4
• [ ] D) 1

💡 Domanda di riflessione: Quale parola chiave nel testo ti ha fatto capire che gli oggetti sono identici?

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Q5. [Medio]

In una libreria, 4 romanzi gialli (tutti diversi) e 3 romanzi storici (tutti diversi) devono essere disposti su uno scaffale. In quanti modi si possono disporre se si vuole che tutti i gialli rimangano vicini tra loro (formino un unico blocco)?

• [ ] A) [math]7![/math]
• [ ] B) [math]4! \cdot 3![/math]
• [ ] C) [math]4! \cdot 4![/math]
• [ ] D) [math]4! \cdot 3! \cdot 4[/math]

💡 Domanda di riflessione: Perché considerare i 4 gialli come un “blocco unico” semplifica il problema?

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Soluzioni Commentate

Soluzione Q1: Risposta B (6)

Si tratta di una permutazione semplice di [math]n=3[/math] oggetti: [math]P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6[/math]. Se i prodotti fossero 5, useresti [math]5! = 120[/math].

Soluzione Q2: Risposta C (8!)

L’ordinamento di 8 elementi distinti è dato dal fattoriale di 8. [math]8! = 40.320[/math]. Il fattoriale rappresenta il prodotto di tutti gli interi positivi decrescenti fino a 1.

Soluzione Q3: Risposta D (10)

La parola “MAMMA” ha 5 lettere, di cui la ‘M’ si ripete 3 volte e la ‘A’ si ripete 2 volte. Usiamo la formula delle permutazioni con ripetizione:

[math]\displaystyle P_{5}^{3,2} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10[/math]

Soluzione Q4: Risposta D (1)

Poiché i 4 progetti sono identici e ogni team può riceverne massimo 1, di fatto stiamo assegnando 1 progetto a ciascuno dei 3 team, lasciandone 1 fuori. Essendo i progetti indistinguibili, non importa quale progetto va a chi. L’unica cosa che conta è chi lo riceve (e lo riceveranno tutti e 3 i team). C’è esattamente 1 solo modo per farlo.

Nota: La parola chiave è “identici”. Distrugge la necessità di ordinare le risorse.

Soluzione Q5: Risposta C (4! * 4!)

Consideriamo i 4 gialli come un unico “super-libro”. Ora abbiamo 4 oggetti da disporre (il blocco dei gialli + i 3 storici), quindi [math]4![/math] modi. Tuttavia, all’interno del blocco, i 4 gialli possono scambiarsi di posto in [math]4!$[/math] modi. Il totale è quindi [math]4! \cdot 4! = 24 \cdot 24 = 576[/math].

📝 Test di Autovalutazione: Permutazioni e Vincoli Complessi

Completa gli ultimi quesiti di livello avanzato. Queste domande testano la tua capacità di gestire simmetrie, rotazioni e restrizioni specifiche.

Q6. [Medio/Difficile]

In un laboratorio di informatica, 5 studenti e 5 studentesse devono sedersi in una fila di 10 posti. Quanti sono i modi per disporli in modo che i posti siano alternati per genere (maschio-femmina o femmina-maschio)?

• [ ] A) [math]5! \cdot 5! \cdot 2[/math]
• [ ] B) [math]10![/math]
• [ ] C) [math]2 \cdot 5![/math]
• [ ] D) [math]2^5 \cdot 5![/math]

💡 Domanda di riflessione: Perché è necessario moltiplicare per 2 alla fine?

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Q7. [Difficile]

Al matrimonio di due amici, 8 invitati (tra cui gli sposi) devono sedersi a un tavolo rotondo. In quanti modi possono disporsi se si considerano equivalenti le disposizioni che differiscono solo per una rotazione?

• [ ] A) [math]8![/math]
• [ ] B) [math]7![/math]
• [ ] C) [math]8!/2[/math]
• [ ] D) [math]7!/2[/math]

💡 Domanda di riflessione: Cosa cambierebbe se il tavolo fosse rettangolare (con un posto “di testa”)?

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Q8. [Difficile]

Una password di 6 caratteri deve essere formata usando le lettere della parola “BANANA”. Quante sono le password distinte (anagrammi) che iniziano e finiscono con la stessa lettera?

• [ ] A) 60
• [ ] B) 40
• [ ] C) 30
• [ ] D) 16

💡 Domanda di riflessione: Perché è necessario suddividere il problema in casi (A o N) in questo esercizio?

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Q9. [Difficile]

Un tecnico deve riordinare 9 lampadine su un supporto lineare: 3 rosse (identiche), 3 verdi (identiche) e 3 blu (identiche). Quanti sono i modi di disporle se le lampadine rosse non devono mai essere tutte e tre consecutive?

• [ ] A) 1680
• [ ] B) 420
• [ ] C) 1540
• [ ] D) 1120

💡 Domanda di riflessione: Quale strategia (diretta o complementare) hai utilizzato? Perché?

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Q10. [Molto Difficile]

Un’agenzia di viaggi organizza un tour con 6 tappe: Roma, Firenze, Venezia, Napoli, Torino e Palermo. L’itinerario prevede che Roma sia visitata prima di Firenze e che Napoli sia visitata prima di Torino. In quanti modi diversi si possono ordinare le 6 tappe rispettando entrambi i vincoli?

• [ ] A) 720
• [ ] B) 360
• [ ] C) 180
• [ ] D) 90

💡 Domanda di riflessione: In generale, se abbiamo [math]k[/math] vincoli di precedenza indipendenti tra coppie, come si modifica il numero totale di permutazioni?

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Soluzioni Commentate

Soluzione Q6: Risposta A

Esistono due schemi possibili: MFMFMFMFMF oppure FMFMFMFMFM (da qui il moltiplica per 2). Per ogni schema, i 5 maschi possono scambiarsi in [math]5![/math] modi e le 5 femmine in [math]5![/math] modi. Totale: [math]2 \cdot 5! \cdot 5![/math].

Soluzione Q7: Risposta B

Nelle permutazioni cicliche, le posizioni assolute non esistono. Fissiamo un invitato per creare un punto di riferimento ed eliminare l’equivalenza rotazionale. Restano 7 persone da disporre:

(8-1)! = 7! = 5040

Soluzione Q8: Risposta D

Le lettere sono B (1), A (3), N (2). Le uniche lettere che possono stare all’inizio e alla fine sono A o N.

• Caso A…A: Restano B, A, N, N da permutare: [math]\frac{4!}{2!} = 12[/math].
• Caso N…N: Restano B, A, A, A da permutare: [math]\frac{4!}{3!} = 4[/math].
• Caso A…A (corretto): Se usiamo due A, restano {B, A, N, N} -> [math]12[/math].
• Caso N…N (corretto): Se usiamo due N, restano {B, A, A, A} -> [math]4[/math].

 

Soluzione Q9: Risposta C

Usiamo il complemento. Totale permutazioni: [math]\frac{9!}{3!3!3!} = 1680[/math].
Sottraiamo il caso in cui le 3 rosse sono un blocco unico (RRR). Trattando RRR come un unico oggetto, permutiamo 7 oggetti (1 blocco + 3V + 3B): [math]\frac{7!}{3!3!} = 140[/math].
Risultato: [math]1680 – 140 = 1540[/math]

Totale permutazioni: [math]6! = 720[/math].
Il vincolo “Roma prima di Firenze” dimezza le possibilità (in metà dei casi Roma è prima, nell’altra metà è dopo). Il vincolo “Napoli prima di Torino” dimezza ulteriormente.
[math]720 / 2 / 2 = 180[/math].

SoluzioneQ10: (Molto Difficile)

Risposta corretta: C) 180

Spiegazione:

Il totale delle permutazioni di 6 città distinte è:

$$6! = 720$$

Abbiamo due vincoli specifici: Roma prima di Firenze e Napoli prima di Torino. Questi due vincoli sono indipendenti perché non coinvolgono le stesse città (coppie disgiunte).

I vincoli sono indipendenti perché riguardano coppie disgiunte: la posizione relativa di Roma e Firenze non influenza in alcun modo quella di Napoli e Torino.

Per una qualsiasi coppia di elementi distinti in una permutazione casuale, in esattamente metà dei casi il primo elemento precede il secondo. Quindi, per ogni vincolo, la probabilità (o la frazione di casi) in cui viene rispettato è 1\2.

Poiché i vincoli sono indipendenti, la frazione di permutazioni che li rispettano entrambi si ottiene moltiplicando le probabilità:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Calcoliamo quindi le permutazioni valide applicando questa frazione al totale:

$$720 \times \frac{1}{4} = 180$$

 

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Q1: Per 5 prodotti, il numero di disposizioni è 5! = 120.

Q2: Il simbolo “!” indica il fattoriale: n! = n⋅ (n-1) ⋅ ⋅⋅2 ⋅ 1. Rappresenta il numero di permutazioni di n oggetti distinti.

Q3: Non possiamo usare 5! perché la parola ha lettere ripetute. Scambiare due “M” tra loro non genera un nuovo anagramma, quindi dobbiamo dividere il totale per il numero di modi di permutare le lettere identiche (eliminando così i “doppioni”).

Q4: La parola chiave è “identici”. Quando gli oggetti sono identici, l’ordine in cui vengono distribuiti non conta; se i contenitori (i team) hanno capacità massima 1, la permutazione collassa in un problema di combinazione (o scelta dei contenitori).

Q5: Considerare i gialli come un blocco unico riduce il numero di oggetti base da permutare, trasformando un fastidioso vincolo di adiacenza nella semplice permutazione di un “super-oggetto” insieme agli altri. Alla fine, si moltiplica per le permutazioni interne valide all’interno di quel blocco.

Q6: Moltiplichiamo per 2 perché ci sono esattamente due macro-schemi per iniziare la sequenza alternata: partendo con un maschio o partendo con una femmina. Una volta scelto lo schema iniziale, i “sedili” riservati a maschi e femmine sono bloccati.

Q7: Nelle permutazioni cicliche, fissiamo un invitato per eliminare l’equivalenza rotazionale. Il numero di modi per sedere [math]n[/math] persone è n!-1. Quindi [math]7! = 5.040[/math]. In un tavolo rettangolare con “capotavola”, la rotazione cambierebbe i posti, tornando a [math]8![/math].

 

Q8: Suddividiamo in casi perché la lettera che occupa gli estremi deve avere necessariamente una frequenza di almeno 2 nel set di partenza. Nella parola BANANA, solo le lettere “A” (3) e “N” (2) rispettano questa condizione (≥ 2), obbligandoci a studiare i due scenari separatamente.

Q9: Ho usato la strategia complementare. Calcolare in modo diretto l’evento “non tutte e tre consecutive” è un incubo matematico perché frammentato in troppi sottocasi (nessuna vicina, esattamente due vicine, ecc.). Al contrario, calcolare l’evento complementare (“tutte e tre consecutive come un blocco unico”) è banale, e basta sottrarlo dal totale.

Q10: In generale, se abbiamo k vincoli di precedenza indipendenti (cioè che coinvolgono coppie totalmente disgiunte di elementi), il numero di permutazioni che li rispettano scala con precisione secondo la formula  

$n!\mathrm{/}{2}^k$ Ciò deriva dalla pura probabilità: per ogni singola coppia isolata, esattamente la metà delle permutazioni possibili presenterà l’ordine corretto.

Analisi Applicativa 

Perché questi esercizi sono interessanti nel mondo reale?

• Q1, Q2 & Q6 (Ordinamenti semplici e alternati): Sono alla base degli algoritmi di scheduling. Quando un sistema operativo deve mettere in coda dei processi, o quando si organizzano i turni di lavoro in ospedale evitando sovrapposizioni, i software calcolano esattamente queste permutazioni per trovare l’incastro ottimale.

• Q3 & Q8 (Anagrammi e Ripetizioni): È la base della crittografia moderna e della teoria delle password. Capire quante stringhe distinte si possono generare con caratteri ripetuti o con vincoli agli estremi (es. “la password deve iniziare con una lettera”) serve a misurare quanto un sistema sia vulnerabile agli attacchi informatici (Brute Force).

• Q5 & Q9 (Logica dei “Blocchi” e Metodo Complementare): La tecnica di considerare elementi come un “super-blocco” (Q5) è essenziale nell’ottimizzazione logistica (es. caricare merci simili vicine in un container). Il metodo complementare (Q9) è invece il trucco più usato in probabilità: quando calcolare un evento è un incubo matematico per i troppi sottocasi, si calcola l’opposto e si sottrae dal totale. Un risparmio di calcolo enorme per i computer.

• Q10 (Vincoli indipendenti): Questo è un classico problema di Operations Research (Ricerca Operativa) e Project Management. Nel metodo PERT/CPM per gestire i cantieri o lo sviluppo software, alcune task devono necessariamente precederne altre (es. “devi posare i tubi prima di fare il pavimento”). Questo calcolo definisce quante “strade” valide esistono per completare un progetto.

Strategie di Risoluzione: Il “Kit di Sopravvivenza”

1. Il metodo del Blocco (Q5): Quando degli elementi devono stare vicini, “incollali” e trattali come un unico oggetto.

2. La strategia del Complemento (Q9): Se contare i casi favorevoli è troppo lungo, conta quelli “vietati” e sottraili dal totale. È il trucco preferito dai programmatori per ottimizzare i calcoli.

3. Il filtro delle Frequenze (Q8): Prima di calcolare, verifica la disponibilità. Se una lettera compare una volta sola (come la ‘B’), non potrà mai occupare due posti contemporaneamente.

 

Il “Cheat Sheet” Definitivo della Combinatoria

Per scegliere la formula corretta in ogni problema, poniti sempre due domande fondamentali:

1. L’ordine conta? (Se scambio due elementi, ottengo una configurazione diversa?)
2. Uso tutti gli elementi o solo una parte? (Sto ordinando l’intero set o ne sto selezionando un sottoinsieme?)

Tipo	L’ordine conta?	Elementi usati	Formula	Esempio Classico
Permutazioni Semplici	Sì	Tutti (n)	$$P_n = n!$$	Ordinare 5 libri diversi su uno scaffale.
Permutazioni con Ripetizione	Sì	Tutti (n)	$$P_n^{k_1, k_2…} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \dots}$$	Anagrammi della parola “MAMMA”.
Permutazioni Cicliche	Sì	Tutti (n)	$$P_{c,n} = (n-1)!$$	Persone sedute a un tavolo rotondo.
Disposizioni Semplici	Sì	Una parte (k)	$$D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$	Podio (1°, 2°, 3°) in una gara di 10 atleti.
Disposizioni con Ripetizione	Sì	Una parte (k)	$$D’_{n,k} = n^k$$	Quanti PIN da 4 cifre esistono (usando 0-9)?
Combinazioni Semplici	No	Una parte (k)	$$C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$	Scegliere 5 numeri su 90 al Gioco del Lotto.
Combinazioni con Ripetizione	No	Una parte (k)	$$C’_{n,k} = \binom{n+k-1}{k}$$	Comprare 10 caramelle scegliendo tra 3 tipi.