Esercizi svolti sulle disposizioni semplici.
RIPASSO:
Dati n oggetti, i raggruppamenti formati da k di essi (k < n), tali che presi due raggruppamenti, essi differiscono per non contenere gli stessi oggetti o, se contengono gli stessi oggetti, differiscono per l’ordine nel quale sono disposti in ciascun raggruppamento, si definiscono
«disposizioni semplici di n oggetti di classe k, oppure, presi a k a k» .
Disposizioni semplici, cioè senza ripetizioni, perché ogni oggetto dell’insieme dato è incluso in un raggruppamento al più una sola volta.
Il numero delle disposizioni delle disposizioni semplici degli n oggetti di un insieme presi a k a k è dato dalla formula
Esercizio 1.
Nell’ ipotesi che l’O.N.U (Organizzazione delle Nazioni Unite) stabilisse che ciascuno dei suoi 192 Stati Membri dovesse dotarsi di bandiera di tre colori distinti a bande verticali, basterebbero i sette colori dell’arcobaleno (rosso, arancione, giallo, verde, blu, indaco, violetto) a realizzare un tale progetto?
Soluzione. Si tratta di calcolare le disposizioni semplici (senza ripetizioni) di sette colori presi a tre a tre ( o di classe tre), cioè
Il progetto è realizzabile.
Esercizio 2.
Calcolare in quanti modi i 20 alunni di una classe si possono disporre nei banchi di due posti.
Soluzione. Si tenga conto che due stessi alunni in un banco possono sedersi in due modi, scambiandosi di posto. Pertanto, si devono calcolare le disposizioni di 20 elementi di classe due, cioè
Esercizio 3.
Ad un Gran Premio automobilistico partecipano 23 piloti, i primi tre classificati salgono sul podio per la premiazione. Calcolare quante sono le configurazioni dei primi tre vincenti.
Soluzione. Considerato che tre piloti possono classificarsi ai primi tre posti in ordine diverso, si tratta di calcolare le disposizioni semplici di 23 elementi di classe 3, cioè
Vi sono, quindi, 10626 terne di possibili vincitori.
Esercizio 4.
Calcolare quanti numeri di tre cifre significative, senza ripetizioni, si possono scrivere.
Soluzione. Utilizzando le 10 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e tenuto conto che la prima cifra dei numeri richiesti deve essere diversa da zero, si tratta delle disposizioni di 10 cifre prese a tre a tre alle quali vanno sottratte quelle con lo zero iniziale. Tali ultimi numeri sono la decima parte di tutti quelli richiesti, per cui le disposizioni da calcolare sono i nove decimi del totale, cioè
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