Indice
Le disposizioni
Disposizioni semplici
Una disposizione di n oggetti di classe k è un raggruppamento ordinato di k degli n oggetti. Le disposizioni differiscono per l’ordine e la composizione o per entrambi.
Diremo che le disposizioni sono semplice o senza ripetizione quando un elemento può essere presente una sola volta. Il numero di possibili disposizioni di n elementi di classe k è dato da
In effetti abbiamo n modi di ordinare il primo elemento della sequenza, n − 1 modi per il secondo, ecc., ed n − k + 1 modi ordinare il k-esimo elemento. Quindi per la regola fondamentale del calcolo combinatorio abbiamo che tutti i possibili ordinamenti sono:
Infatti, le permutazioni sono un caso particolare delle disposizioni, quando k = n.
ESERCIZIO 1:
Tutti i possibili sottoinsiemi ordinati di classe 2 dell’insieme:
sono:
Cioè sono in numero pari a D3,2 = 6.
ESERCIZIO 2:
Tra i 25 membri di una società bisogna scegliere il presidente ed il segretario, quante sono le scelte possibili?
Sono:
Disposizioni con ripetizione
Le disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k sono gli ordinamenti di k oggetti quando gli oggetti si possono ripetere. Il numero di disposizioni con ripetizione risulta essere
che può essere ricavato osservando che per ciascuna delle k posizioni ci sono n modi possibili di scegliere un oggetto.
ESERCIZIO 3:
Per l’insieme:
ESERCIZIO 4:
Quante sono le possibili colonne del totocalcio?
Sono:
ESERCIZIO 5:
Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si eseguono 5 estrazioni senza rimettere, dopo ogni estrazione, la pallina nell’urna. Quanti sono gli allineamenti che si possono ottenere come risultato delle 5 estrazioni? E quanti quelli in cui non compare il numero 20?
Abbiamo n = 20 e k = 5. Poichè si rimettono le palline nell’urna la prima risposta sarà D20,5 = 20 * 19 * 18 * 17 * 16.
Per la seconda risposta avremo D19;5 = 19 * 18 * 17 * 16 * 15.
ESERCIZIO 6:
Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si eseguono 5 estrazioni rimettendo, dopo ogni estrazione, la pallina nell’urna.
Quanti sono gli allineamenti che si possono ottenere come risultato delle 5 estrazioni?
E quanti sono gli allineamenti in cui non compare il numero 20?
La risposta alla prima domanda sarà D*20,5= 205 essendo n = 20 e k = 5.
Per la seconda domanda basta osservare che gli oggetti disponibili sono quelli contenuti in {1,2,3,…..19 } e pertanto la risposta sarà
D*19;5= 195
ESERCIZIO 7:
Una scimmia digita 3 tasti in maniera casuale su una tastiera per computer con 21 caratteri (alfabeto italiano). Qual è la probabilità che la scimmia digiti una parola di tre lettere (anche senza senso) che inizia con una consonante e finisce con due vocali?
Tutte le configurazioni di lettere che possono essere scritte dalla scimmia sono D*21;3 = 213 .
Le configurazioni “buone” sono per noi 16 * 5 * 5, perchè la prima consonante può essere scelta in 16 modi diversi, la prima vocale in 5 modi diversi e la seconda vocale ancora in 5 modi diversi. Quindi la probabilità richiesta è:
ESERCIZIO 8:
Quanti codici si possono formare utilizzando tre cifre e due lettere dell’alfabeto inglese (26 lettere), se le lettere occupano le prime due posizioni e cifre e lettere possono ripetersi? Quanti codici presentano qualche ripetizione?
Per il primo quesito usiamo le disposizioni con ripetizione e quindi abbiamo:
Per il secondo quesito possiamo calcolare facilmente il numero di codici che non presentano ripetizioni:
Quindi i codici con qualche ripetizione sono:
ESERCIZIO 9:
Qual è la probabilità che n persone scelte a caso abbiano tutte compleanno diverso? (Si ignorino gli anni bisestili).
Supponendo che ogni giorno di nascita sia equiprobabile (cosa che in realtà non è) la probabilità richiesta è:
Altri esercizi svolti di calcolo combinatorio
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