ESERCIZIO 1:
In quanti modi possono danzare contemporaneamente 6 coppie di cui 6 uomini e 6 donne?
SOLUZIONE:
Consideriamo i modi in cui gli uomini si possano accoppiare con le donne: il Primo uomo potrà scegliere tra 6 donne, il Secondo tra le 5 rimanenti, il Terzo tra le 4 rimanenti e cosi via fino ad arrivare all’ultimo uomo che potrà scegliere di ballare con l’unica donna rimasta. Da questo ragionamento si capisce bene che bisogna calcolare le permutazioni semplici di 6 elementi:
P6 = 6!
ESERCIZIO 2:
La Pollese Calcio nelle ultime 6 partite ha realizzato 10 punti. Quante sono le possibili strisce di risultati che può aver realizzato? (Il risultato di ogni partita è stato vittoria (V), pareggio (P) o sconfitta (S). V vale 3 punti, P vale 1 e S vale 0…)
SOLUZIONE:
Osserviamo che il problema si riconduce a come sistemare i numeri 3 (vittoria), 1 (pareggio) e 0 (sconfitta) in 6 posti (partite) con il vincolo che la loro somma deve fare 10.
Inoltre, per ottenere somma pari a 10, la squadra deve aver almeno totalizzato 2 vittorie. I casi di strisce possibili sono:
1. 2 V e 4 P;
2. 3 V, 1 P e 2 S
In entrambi i casi tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare sono dati dalle permutazioni con ripetizioni. A tal proposito ricordiamo che le permutazioni con ripetizione di n elementi ripetuti rispettivamente r1, r2,rn volte sono:
In particolare, nel primo caso abbiamo le permutazioni degli elementi 3 e 1 ripetuti rispettivamente 2 e 4 volte:
Nel secondo caso, invece, abbiamo le permutazioni degli elementi 3, 1 e 0 ripetuti rispettivamente 3, 1 e 2 volte:
Facendo la somma dei casi 1) e 2) otteniamo le strisce di risultati complessivi che la squadra può aver ottenuto:
15 + 70 = 85
ESERCIZIO 3:
Michela va tre giorni alla settimana in palestra, dove pratica, uno sport per giorno, spinning, pilates e aerobica. La palestra è aperta tutti i giorni. In quanti modi Michela può organizzare i giorni di allenamento? E se non vuole fare aerobica di domenica?
SOLUZIONE:
Si può scomporre tale problema nei seguenti sotto-problemi:
1. Modi in cui Michela può scegliere i giorni in cui allenarsi;
2. Modi in cui Michela può praticare i 3 sport nei giorni scelti.
I primi non sono altro che le combinazioni semplici di 7 elementi (giorni della settimana) a gruppi di 3 (giorni scelti):
I secondi invece sono le permutazioni di 3 elementi (gli sport) a gruppi di 3 (i giorni scelti):
P3 = 3! = 6
Il totale dei modi con cui Michela può organizzare i giorni di allenamento sono dati dal prodotto dei precedenti:
35 ⋅ 6 = 210
Per rispondere alla seconda domanda calcoliamo i modi in cui Michela può scegliere di praticare i 3 sport con il vincolo che pratichi aerobica di domenica. In tal caso lo sport aerobica rimane fissato la domenica, mentre gli altri due sport variano nei 6 giorni rimanenti. Seguendo lo stesso procedimento di prima si ha:
e il numero di modi con cui possono permutare i due sport sono:
P2 = 2! = 2
Dunque, in tutto avremo
15 ⋅ 2 = 30
modi possibili con cui Michela può scegliere di fare aerobica domenica. Per trovare, invece, i modi con cui può organizzare i giorni di allenamento senza fare aerobica la domenica, facciamo la sottrazione:
210 − 30 = 180
ESERCIZIO 4:
Un ristorante offre 5 primi, 7 secondi e 10 tipi di vino. Per un matrimonio si richiedono un tris di primi, 2 secondi e 2 vini. L’antipasto è a buffet e come dessert c’è la torta nuziale. In quanti modi diversi si può predisporre il menù?
SOLUZIONE:
Calcoliamo i seguenti:
1. Modi con cui possiamo scegliere i 3 primi fra i 5 disponibili
2. Modi con cui possiamo scegliere i 2 secondi fra i 7 disponibili
3. Modi con cui possiamo scegliere i 2 vini fra i 10 disponibili
Si tratta in tutti i 3 casi di combinazioni semplici dato che l’ordine con cui disponiamo i piatti non conta e non possono essere ripetuti. In particolare nel primo caso abbiamo:
Nel secondo caso, invece:
Infine, nel terzo caso si ha:
Il numero di modi totale con cui si può predisporre il menù è dato dal prodotto dei precedenti numeri:
10 ⋅ 21 ⋅ 45 = 9450
Altri esercizi svolti di calcolo combinatorio
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