Equazioni Goniometriche: Test di Autovalutazione con Soluzioni Commentate e Trucchi

Avete presente quando sin x e cos x sembrano non andare mai d’accordo? 🤯

Abbiamo preparato un test di autovalutazione progressivo: si parte facile, ma gli ultimi quesiti nascondono delle trappole in cui cade il 90% degli studenti.

Tu riesci a risolvere il Quesito 9 senza sbagliare i segni?

👇 Mettiti alla prova e controlla le soluzioni commentate passo dopo passo.

Test di Autovalutazione: Equazioni Goniometriche

Quesito 1 – Livello Base

Risolvere l’equazione elementare:

[math]\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

Le soluzioni nel dominio [math][0, 2\pi)[/math] sono:

• A. [math]\frac{\pi}{4}[/math] e [math]\frac{3\pi}{4}[/math]
• B. [math]\frac{\pi}{4}[/math] e [math]\frac{5\pi}{4}[/math]
• C. [math]\frac{\pi}{3}[/math] e [math]\frac{2\pi}{3}[/math]
• D. [math]\frac{\pi}{6}[/math] e [math]\frac{5\pi}{6}[/math]

✅ Risposta corretta: A

Spiegazione:

Per [math]\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/math], cerchiamo gli angoli notevoli la cui ordinata sulla circonferenza goniometrica corrisponde a tale valore.

Nel primo giro ([math]0 \leq x < 2\pi[/math]), gli angoli sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_1 &= \frac{\pi}{4} \\
x_2 &= \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}
\end{aligned}[/math]

Per la periodicità del seno, la soluzione generale si scrive aggiungendo il termine [math]2k\pi[/math]:

[math]x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math]

Quesito 2 – Equazione lineare in seno e coseno

Risolvere l’equazione:

[math]\cos x = \sin x[/math]

Le soluzioni nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math] sono:

• A. [math]\frac{\pi}{2}[/math]
• B. [math]\frac{\pi}{4}[/math] e [math]\frac{5\pi}{4}[/math]
• C. [math]\frac{\pi}{3}[/math]
• D. [math]\frac{3\pi}{4}[/math]

✅ Risposta corretta: B

Spiegazione:

Per risolvere l’equazione, possiamo trasformarla in un’equazione elementare in tangente. Dividendo entrambi i membri per [math]\cos x[/math] (sotto la condizione [math]\cos x \neq 0[/math]), otteniamo:

[math]\displaystyle \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \implies 1 = \tan x[/math]

Cerchiamo i valori di [math]x[/math] per cui la tangente è uguale a 1 nel dominio [math][0, 2\pi)[/math]:

• Nel primo quadrante: [math]x = \frac{\pi}{4}[/math]
• Nel terzo quadrante (per la periodicità della tangente): [math]x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}[/math]

Verifica dei valori esclusi: Se [math]\cos x = 0[/math] (ovvero [math]x = \frac{\pi}{2}[/math] o [math]x = \frac{3\pi}{2}[/math]), il seno varrebbe [math]1[/math] o [math]-1[/math]. Poiché [math]0 \neq \pm 1[/math], questi valori non sono soluzioni dell’equazione originale, confermando che la divisione effettuata è lecita.

Quesito 3 – Equazione quadratica in seno

Risolvere nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math]:

[math]2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0[/math]

• A. [math]x = \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}[/math]
• B. [math]x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}[/math]
• C. [math]x = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}[/math]
• D. [math]x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi[/math]

✅ Risposta corretta: A

Spiegazione:

Questa è un’equazione di secondo grado riconducibile ad un’equazione elementare. Ponendo la variabile ausiliaria [math]t = \sin x[/math], l’equazione diventa:

[math]2t^2 – t – 1 = 0[/math]

Calcoliamo il discriminante e le radici per [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta &= (-1)^2 – 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \\
t &= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 \pm 3}{4} \\
t_1 &= 1, \quad t_2 = -\frac{1}{2}
\end{aligned}[/math]

Ora torniamo alla variabile originale [math]x[/math]:

1. Per [math]t = 1[/math]: [math]\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}[/math] (punto di massimo sulla circonferenza goniometrica).
2. Per [math]t = -1/2[/math]: [math]\sin x = -\frac{1}{2}[/math]. Gli angoli notevoli che hanno seno pari a [math]-1/2[/math] si trovano nel terzo e quarto quadrante:
   • Terzo quadrante: [math]x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}[/math]
   • Quarto quadrante: [math]x = 2\pi – \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}[/math]

Quesito 4 – Equazione riconducibile alla duplicazione

Risolvere nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math]:

[math]\sin^2 x – \cos^2 x = \frac{1}{2}[/math]

• A. [math]x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}[/math]
• B. [math]x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}[/math]
• C. [math]x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}[/math]
• D. Nessuna delle precedenti

✅ Risposta corretta: C

Spiegazione:

Invece di procedere con sostituzioni quadratiche, l’occhio attento noterà che il membro di sinistra ricorda molto la formula di duplicazione del coseno:
[math]\cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x[/math].

Moltiplicando l’equazione originale per [math]-1[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \cos^2 x – \sin^2 x = -\frac{1}{2} \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}[/math]

Risolviamo per l’argomento [math]2x[/math]:

[math]\displaystyle 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi[/math]

Dividendo tutto per 2, troviamo la soluzione generale per [math]x[/math]:

[math]\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \lor \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi[/math]

Ora estraiamo le soluzioni contenute nel dominio richiesto ([math]0 \leq x < 2\pi[/math]):

• Per [math]k=0[/math]: [math]x = \frac{\pi}{3}[/math] e [math]x = \frac{2\pi}{3}[/math]
• Per [math]k=1[/math]: [math]x = \frac{4\pi}{3}[/math] e [math]x = \frac{5\pi}{3}[/math]

Quesito 5 – Equazione con seno e coseno lineare

Risolvere nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math]:

[math]\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1[/math]

• A. [math]x = 0, \frac{\pi}{3}[/math]
• B. [math]x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}[/math]
• C. [math]x = 0, \frac{2\pi}{3}[/math]
• D. [math]x = \frac{\pi}{6}, \pi[/math]

✅ Risposta corretta: C

Spiegazione:

Questa è un’equazione lineare in seno e coseno del tipo [math]a\sin x + b\cos x = c[/math]. Utilizziamo il metodo dell’angolo aggiunto per trasformare il membro di sinistra in un’unica funzione goniometrica.

Calcoliamo l’ampiezza [math]R[/math]:

[math]R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2[/math]

Dividendo l’intera equazione per [math]R = 2[/math], otteniamo:

[math]\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}[/math]

Notiamo che [math]\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})[/math] e [math]\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})[/math]. Possiamo quindi scrivere:

[math]\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}[/math]

Risolviamo ora l’equazione elementare per l’argomento composto:

1. [math]x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = 0 + 2k\pi[/math]
2. [math]x + \frac{\pi}{6} = \pi – \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi[/math]

Nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math], le soluzioni sono [math]x = 0[/math] e [math]x = \frac{2\pi}{3}[/math].

Quesito 6 – Equazione goniometrica fratta

Risolvere nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math]:

[math]\frac{\cos x}{1 – \sin x} = 1[/math]

• A. [math]x = 0, \pi[/math]
• B. [math]x = \frac{\pi}{2}[/math]
• C. [math]x = 0, \frac{\pi}{2}[/math]
• D. Nessuna delle precedenti

✅ Risposta corretta: D

Spiegazione:

Nelle equazioni fratte, il primo passo è determinare il dominio di definizione ponendo il denominatore diverso da zero:

[math]1 – \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{2}[/math]

Sotto questa condizione, procediamo moltiplicando entrambi i membri per [math](1 – \sin x)[/math]:

[math]\cos x = 1 – \sin x \implies \sin x + \cos x = 1[/math]

Risolviamo questa equazione lineare (ad esempio con il metodo dell’angolo aggiunto o per semplice osservazione sulla circonferenza goniometrica):

[math]\displaystyle \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}[/math]

Le soluzioni per l’argomento composto sono:

1. [math]x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = 0 + 2k\pi[/math]
2. [math]x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/math]

Controllo di accettabilità: La soluzione [math]x = \frac{\pi}{2}[/math] deve essere esclusa per la condizione iniziale (renderebbe nullo il denominatore). L’unica soluzione valida nel dominio [math][0, 2\pi)[/math] è [math]x = 0[/math].

Poiché nessuna delle opzioni A, B o C elenca correttamente solo la soluzione valida [math]x = 0[/math], la risposta corretta è la D.

Tabella Riassuntiva: Prostaferesi e Werner

Queste formule sono strumenti fondamentali per la semplificazione di espressioni goniometriche complesse e per la risoluzione di integrali o equazioni.

1. Formule di Prostaferesi

Utilizzate per trasformare somme e differenze in prodotti. Sono utilissime per applicare la legge di annullamento del prodotto nelle equazioni.

2. Formule di Werner

Utilizzate per trasformare prodotti in somme e differenze. Sono le formule inverse della prostaferesi.

Quesito 8 – Sistemi di equazioni goniometriche

Risolvere il seguente sistema nell’intervallo [math][0, \pi][/math]:

[math]\begin{cases} 2\sin x – 1 = 0 \\ \cos x < 0 \end{cases}[/math]

• A. [math]x = \frac{\pi}{6}[/math]
• B. [math]x = \frac{5\pi}{6}[/math]
• C. [math]x = \frac{\pi}{6}[/math] e [math]x = \frac{5\pi}{6}[/math]
• D. Il sistema non ha soluzioni nell’intervallo dato.

✅ Risposta corretta: B

Spiegazione:

Un sistema richiede che entrambe le condizioni siano soddisfatte contemporaneamente. Analizziamole singolarmente:

1. Prima equazione: [math]2\sin x – 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}[/math].Nell’intervallo [math][0, \pi][/math], il seno è pari a [math]1/2[/math] per:[math]x_1 = \frac{\pi}{6}[/math] (I quadrante) e [math]x_2 = \frac{5\pi}{6}[/math] (II quadrante).
2. Seconda condizione (Disequazione): [math]\cos x < 0[/math].Il coseno è negativo nel secondo e terzo quadrante. Nell’intervallo considerato [math][0, \pi][/math], questa condizione è soddisfatta per:[math]\frac{\pi}{2} < x \leq \pi[/math].

Conclusione:

Dobbiamo scegliere tra [math]\frac{\pi}{6}[/math] e [math]\frac{5\pi}{6}[/math] l’unico valore che cade nel secondo quadrante (dove il coseno è negativo).

– [math]\frac{\pi}{6}[/math] ha coseno positivo ([math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]) [math]\to[/math] Scartata.

– [math]\frac{5\pi}{6}[/math] ha coseno negativo ([math]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]) [math]\to[/math] Accettabile.

Quesito 9 – Equazione con valore assoluto

Risolvere nell’intervallo [math][0, 2\pi)[/math]:

[math]|\sin x| = \cos x[/math]

• A. [math]x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}[/math]
• B. [math]x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}[/math]
• C. [math]x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}[/math]
• D. [math]x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}[/math]

✅ Risposta corretta: A

Spiegazione:

La presenza del valore assoluto impone una riflessione preliminare: poiché [math]|\sin x|[/math] è sempre non negativo, l’uguaglianza può sussistere solo se anche [math]\cos x \geq 0[/math]. Questo restringe il campo d’indagine al I e IV quadrante.

Analizziamo i due casi del valore assoluto:

1. Caso 1: [math]\sin x \geq 0[/math] (I e II quadrante)L’equazione diventa: [math]\sin x = \cos x[/math].Come visto nel Quesito 2, questo accade per [math]x = \frac{\pi}{4}[/math] e [math]x = \frac{5\pi}{4}[/math].Tuttavia, dobbiamo rispettare la condizione [math]\sin x \geq 0[/math], quindi teniamo solo [math]x = \frac{\pi}{4}[/math].
2. Caso 2: [math]\sin x < 0[/math] (III e IV quadrante)L’equazione diventa: [math]-\sin x = \cos x \implies \tan x = -1[/math].La tangente è pari a [math]-1[/math] per [math]x = \frac{3\pi}{4}[/math] e [math]x = \frac{7\pi}{4}[/math].Dobbiamo rispettare la condizione [math]\sin x < 0[/math], quindi teniamo solo [math]x = \frac{7\pi}{4}[/math].

Verifica Grafica:

Graficamente, stiamo cercando le intersezioni tra la funzione “seno ribaltato” (sempre sopra l’asse x) e la funzione coseno. Le intersezioni avvengono esattamente a [math]45^\circ[/math] ([math]\pi/4[/math]) e [math]315^\circ[/math] ([math]7\pi/4[/math]).

Guida Strategica: Valori Assoluti e Soluzioni Spurie

In goniometria, l’introduzione di valori assoluti o l’elevamento al quadrato trasforma spesso un’equazione lineare in una quadratica, “creando” soluzioni che nell’equazione originale non esistono. Ecco come gestirle.

1. Mappa Concettuale: Gestione del Valore Assoluto

Esistono tre strade principali per risolvere un’equazione con valore assoluto del tipo [math]|f(x)| = g(x)[/math]:

2. Come identificare ed eliminare le Soluzioni Spurie

Una soluzione spuria è un valore che soddisfa un passaggio intermedio del calcolo ma non l’equazione di partenza.

👾 Quesito 10 (Boss Level) – Discussione Parametrica

Data l’equazione nell’intervallo [math]x \in [0, \frac{\pi}{2}][/math]:

[math]\sin x + \cos x = k[/math]

Per quali valori del parametro reale [math]k[/math] l’equazione ammette almeno una soluzione?

• A. [math]0 \leq k \leq 1[/math]
• B. [math]1 \leq k \leq 2[/math]
• C. [math]1 \leq k \leq \sqrt{2}[/math]
• D. [math]k = \sqrt{2}[/math]

✅ Risposta corretta: C

Spiegazione: Il Metodo Grafico

Il modo più elegante per risolvere questo problema è interpretarlo come l’intersezione tra una curva fissa e un fascio di rette.

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{cases} Y = \sin x \\ X = \cos x \end{cases}[/math]

Sappiamo che [math]X^2 + Y^2 = 1[/math] (Circonferenza Goniometrica).
Nell’intervallo [math][0, \frac{\pi}{2}][/math], stiamo considerando solo l’arco di circonferenza nel primo quadrante (estremi [math]A(1,0)[/math] e [math]B(0,1)[/math] inclusi).

L’equazione diventa il sistema:

[math]\displaystyle \begin{cases} X^2 + Y^2 = 1 \\ Y + X = k \end{cases}[/math]

La retta [math]Y = -X + k[/math] è un fascio di rette parallele con pendenza [math]-1[/math].

1. Valore minimo di [math]k[/math]: La retta passa per gli estremi dell’arco [math]A(1,0)[/math] o [math]B(0,1)[/math].Sostituendo [math]A(1,0)[/math]: [math]1 + 0 = k \implies \mathbf{k = 1}[/math].
2. Valore massimo di [math]k[/math]: La retta è tangente all’arco.La condizione di tangenza per una retta [math]X+Y-k=0[/math] alla circonferenza centro [math](0,0)[/math] e raggio [math]1[/math] è che la distanza centro-retta sia pari al raggio:[math]\displaystyle \frac{|0 + 0 – k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 1 \implies \frac{|k|}{\sqrt{2}} = 1 \implies \mathbf{k = \sqrt{2}}[/math].

📊 Scala di Autovalutazione

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In base ai tuoi errori nel test, ecco su cosa dovresti focalizzare il tuo ripasso: