Modelli matematici, api, frattali e stormi di uccelli

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi
(io dico l’universo), ma non si puo’ intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro laberinto.

Il Saggiatore , Galileo Galilei, 1623

In Natura possiamo ritrovare oggetti, piante, organismi che ci richiamano a particolari strutture matematiche e molti fenomeni naturali possono essere descritti in modo molto soddisfacente da modelli matematici.
L’utilizzo di un approccio matematico per lo studio della natura, la Biomatematica, può essere riassunto nella seguente serie di domande:

• Le nostre scoperte sono applicabili in altri campi?
• Tali fenomeni sono riproducibili al computer?
• Possiamo descrivere i fenomeni attraverso leggi matematiche?
• Possiamo capire perché o almeno in che modo si generano determinati fenomeni?

Le tassellature

In geometria piana, si dicono tassellature i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all’infinito senza sovrapposizioni. Tali figure geometriche, sono spesso poligoni, regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice.

…Le api usano la matematica per ottimizzare il consumo di cera.

La base delle celle delle api rivolta verso l’esterno del favo è di forma esagonale, perchè?

Possiamo porci la seguente domanda: tra tutti i poligoni regolari che possiamo utilizzare per tassellare una superficie piana, scegliendo di utilizzarne uno solo, quale poligono ci consente di minimizzare la somma della lunghezza di tutti i lati utilizzati?

Innanzitutto dobbiamo individuare quali siano i poligoni regolari che ci consentono di tassellare un piano in modo periodico.

Ricordiamo che un poligono regolare è: un poligono (cioè una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa) convesso(cioè ogni angolo interno è minore di un angolo piatto, “non ha rientranze”) equilatero (tutti i lati congruenti) e equiangolo (tutti gli angoli congruenti).

Per identificare quali siano dobbiamo domandarci quali siano le caratteristiche che devono avere.
Utilizzando solo un poligono siamo costretti a sceglierne uno i cui angoli siano un divisore di 360°, altrimenti avremmo dei buchi o delle sovrapposizioni quando li accostiamo. Il che restringe parecchio la nostra ricerca.

Sono infatti soltanto 3 i poligoni con questa caratteristica:
triangolo equilatero (60°), quadrato (90°), esagono regolare (120°).

Quale tra questi minimizza il problema precedente?

Per risolvere il problema calcoliamo innanzitutto il perimetro e l’area dei poligoni in gioco partendo considerando tutti i lati di uguale lunghezza l. Dunque valutiamo quali siano i poligoni con il maggior rapporto area su perimetro.

Guarda caso proprio quello che hanno “scelto” le api.

Le virgolette sono d’obbligo per due motivi, il primo facilmente intuibile è che non si può dire che le api abbiano scelto celle esagonali, come non si può dire che le giraffe abbiano scelto di avere il collo lungo o noi di avere 5 dita per mano. Il secondo motivo è meno banale e poco conosciuto tanto che spesso si sente dire di quanto siano straordinariamente brave le api a fare esagoni… si può dire che questa affermazione sia sbagliata, certamente il contributo delle api è fondamentale: depositano pezzetti di cera e la scaldano in punti opportuni, ma le api creano inizialmente celle a base circolare!

Intanto dobbiamo ricordare che il fondo di una cella è in comune a altre tre celle sul lato opposto del favo.

Come dicevamo inizialmente se sezioniamo una cella da operaia o da fuco troveremo una forma a base esagonale fino ad un certo punto perchè la sezione del fondo delle celle non è propriamente a base esagonale. Infatti il fondo è una calotta cuspidale a base esagonale in comune a 4 celle.

La cosa straordinaria è che anche in questo caso si dimostra che l’inclinazione delle tre figure romboidali che tappano il fondo di una cella è esattamente quello che minimizza il consumo di cera. Per quanto ne so ancora non è stato dimostrato se sia anche questa una caratteristica della cera.

La dimostrazione del fatto appena citato è stata fatta da Mc Laurin nel 1743, confermando all’incirca le misure effettuate da Maraldi nel 1712.

Con il fondo cuspidato, a differenza di un fondo piatto, le api economizzano una cella su 55. Nella apicoltura razionale si preparano favi artificiali, con cera d’api, di forme identiche a quelle dei favi naturali per far risparmiare lavoro alle api.

I Frattali

L’occhio è alla continua ricerca del confine della figura, ma non lo può trovare, perchè esso non esiste: se si ingrandisce l’immagine si scoprono sempre nuove insenature, sempre diverse ma sempre simili a quella iniziale. E’ questa indefinitezza e autosomiglianza che definisce concettualmente quello che è un frattale.

Ma il bello deve ancora venire! Infatti nonostante si possa pensare che un oggetto così complicato come un frattale necessiti di una formula particolarmente lunga e complessa per essere descritto, nulla è più lontano dal vero. Che ci crediate o no, la formula con cui viene generato l’insieme di Mandelbrot è la seguente:

Si tratta semplicemente di quella che in analisi matematica è una parabola traslata rispetto all’origine di un termine noto c! L’incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è infatti definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all’uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola iterativamente Z con la formula descritta sopra, fino a
quando il suo modulo sqr(Re[Z]^2 + Im[z]^2) diventa maggiore di un certo valore G, che non è altro che la grandezza del quadrato all’interno del quale vogliamo rappresentare il frattale. Il numero di volte che bisogna iterare il procedimento prima di fermarsi è proprio il valore che associamo al punto scelto X, che quindi coloriamo in base ad una scala precedentemente definita (la ripetizione infinite volte è un colore!). Seguendo rigorosamente lo schema, grazie alla semplicissima formula Z=z*z+c, si crea un oggetto estremamente bello e complesso, che è proprio il frattale di Mandelbrot.

A titolo di curiosità, infine, se si invertissero i ruoli di z e c, ovvero fissato un generico c, per ogni punto X scelto si ponesse z = X e poi si iterasse il procedimento come sopra, si otterrebbe un altro insieme frattale molto noto: il frattale di Julia.

Frattali in natura

Perché la geometria è spesso descritta come ”fredda” e ”arida”? Una sua ragione sta nella sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e i rami non sono lisci, né i fulmini viaggiano su una linea dritta.

Applicazioni dei frattali:

Sistemi complessi in Natura

Comportamento collettivo

Gli storni sono una particolare specie di uccelli che creano spettacolari forme nel cielo.

Banchi di pesce

Perché stare in un gruppo?

• Protezione dai predatori: stare in un gruppo numeroso diminuisce la probabilità di essere catturati da un predatore.Sono stati proposti parecchi esempi di funzione anti-predatori. Un potenziale metodo con cui i banchi di pesci o gli stormi di uccelli potrebbero ostacolare i predatori è l’effetto confondi-predatori proposto e dimostrato da Milinski e Heller nel 1978. Questa teoria è basata sull’idea che diviene difficile ai predatori selezionare una preda singola all’interno di gruppi, perché i numerosi bersagli in movimento creano un sovraccarico di percezioni visive al predatore.Un secondo potenziale effetto anti-predatori delle aggregazioni di animali è l’ipotesi dei molti occhi. Questa teoria afferma che, con l’aumentare della dimensione del gruppo, il compito di analizzare l’ambiente circostante in cerca di predatori può essere suddiviso tra molti individui. Non solo questa collaborazione di massa consente un più alto livello di vigilanza, ma potrebbe anche lasciare più tempo all’alimentazione individuale.Una terza ipotesi è quella dell’effetto sminuire lo scontro. Hamilton, ad esempio, ha proposto che l’aggregazione degli animali fosse dovuta all'”egoistica” elusione del predatore, e che fosse perciò un modo per cercare un riparo all’interno del gruppo. Un’altra formulazione della teoria fu data da Turner e Pitcher, e fu vista come la combinazione tra probabilità di rilevazione e probabilità di attacco da parte di un predatore. Nella parte di teoria circa la rilevazione da parte del predatore, fu suggerito che una potenziale preda potrebbe trarre benefici dal vivere in gruppo, dato che un predatore ha meno probabilità di imbattersi in un singolo gruppo piuttosto che su una distribuzione sparsa di prede. Nella parte circa l’attacco del predatore, si ipotizzò che un predatore che attacca ha meno probabilità di mangiare un particolare individuo, quando sono presenti altri individui in gran numero. Riassumendo, un individuo è in vantaggio se si trova nel più grande tra due gruppi, assumendo che la probabilità di rilevazione e di attacco non aumenti sproporzionatamente con la dimensione del gruppo.
• Interazione sociale: guadagno nella forza di essere in un gruppo, nella maggiore possibilità di riprodursi.
• Miglioramento della nutrizione: è stato dimostrato come in gruppo, i pesci, riescano a recuperare in modo più veloce cibo. Questa abilità fu dimostrata da Pitcher e altri nei loro studi sul comportamento di ricerca del cibo nei banchi di ciprinidi. In questo studio, venne misurato il tempo impiegato da gruppi di carpe e pesci rossi per localizzare del cibo. Il numero di pesci nel gruppo venne fatto variare, e si osservò, a livello statistico, una significativa diminuzione del tempo necessario a trovare il cibo nei gruppi più numerosi. Un ulteriore sostegno per l’incrementata capacità di trovare il nutrimento da parte dei banchi si osserva nella struttura dei banchi di pesci predatori. Partridge e altri analizzarono la struttura del banco dei tonni rossi dell’Atlantico per mezzo di fotografie aeree, e scoprirono che il banco assumeva forma parabolica, un fatto che dimostrava l’applicazione della caccia cooperativa da parte di questa specie (Patridge et al., 1983)
• Aumento dell’efficacia locomotoria: gruppi di animali che si muovono in ambiente fluido risparmiano energia quando nuotano o volano insieme, proprio come i ciclisti possono mettersi nella scia l’uno dell’altro, in squadra.Questa teoria afferma che gruppi di animali che si muovano in ambiente fluido possono risparmiare energia quando nuotano o volano insieme, proprio come i ciclisti possono mettersi nella scia l’uno dell’altro, in squadra. Anche le oche che volano in formazione a V – si pensa – risparmiano energia volando sulla corrente ascendente dei vortici d’ala generati dall’animale che li precede nella formazione. Si è dimostrato che anche gli anatroccoli risparmiano energia nuotando in linea. Un’aumentata efficienza nel nuoto di gruppo è stata proposta anche per banchi di pesci e per il krill antartico.

Proprietà emergenti

Emergenza

La formazione di strutture organizzate in sistemi biologici complessi è detta Emergenza.
L’emergenza è la generazione di nuovi e coerenti strutture, pattern e proprietà data dalla auto-organizzazione in sistemi complessi. (Goldstein, ’99).
Le proprietà emergenti nascono dalla ripetizione all’interno del gruppo di una stessa particolare interazione, regola. Identificando questa regola possiamo riprodurre il fenomeno (–>Automi cellulari).

Il modello matematico

Le tre zone

Il modello delle tre zone, formalizza tramite tre semplici regole il comportamento del singolo animale all’interno del gruppo.

Repulsione: quando è troppo vicino agli altri individui tende a spostarsi da quell’area.

Allineamento: gli individui cercano di identificare la possibile direzione del gruppo e si allineano rispetto ad essa.

Attrazione: Quando gli individui sono troppo distanti dal gruppo tendono a riavvicinarsi.

Perché fare ricerca in questo campo?

Il comportamento collettivo è un fenomeno che si riscontra non solo in uno stormo di uccelli o in un banco di sardine, ma anche nel movimento di gruppi di persone: le code, il traffico stradale…
Individuare le variabili significative di questi fenomeni vuole dire capire come riprodurre e governare il fenomeno.
La simulazione di sistemi complessi ha applicazioni in diversi campi: dalla computer grafica alla robotica avanzata.

Nel 1986 Craig Raynolds crea un software Boids sulla base del modello delle tre zone.
Il suo programma è stato poi sviluppato largamente nella computer grafica per simulare gruppi in movimento.
Altre regole sono state inserite come: l’inseguimento di un obiettivo e evitare gli ostacoli. Alcune implementazioni famose di questo programma si trovano nei seguenti:

Nel videogioco Half-Life, gli stormi di uccelli.
Ne Il Re Leone della Disney la mandria di animali.
Nella trilogia de Il Signore degli Anelli: Nelle scene delle battaglie.
In Batman Begins: i pipistrelli.

Aeroporti come formicai

Douglas A. Lawson analista di sistema alle Southwest Airlines, ha sviluppato recentemente una strategia di traffico negli aeroporti che copia quanto succede in un formicaio.
” Il pilota (la formica) impara dall’esperienza qual è il meglio per lui(lei), ed il risultato è che questo è la miglior soluzione anche per la compagnia area”.

Luoghi affollati

I comportamenti collettivi si riscontrano anche nel traffico stradale. Per esempio nel movimento delle formiche si possono trovare spostamenti bidirezionali.
Allo stesso modo un ramo di ricerca va verso lo studio del comportamento delle folle in caso di panico.

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