Successioni: alcuni limiti notevoli

Il numero di Nepero

In Particolare:

Osservazione

Il limite notevole, detto di Nepero, così come tutti i limiti notevoli, può essere applicato quando la successione di cui dobbiamo calcolare il limite soddisfa le “condizioni” del limite di Nepero. Consideriamo il seguente esempio:

Questo limite, sebbene ricordi il limite notevole di Nepero, non ha la struttura del limite di Nepero, infatti la successione che si trova a denominatore (all’interno della parentesi tonda) è differente dalla successione che si trova ad esponente. Non possiamo quindi applicare direttamente il limite di Nepero, possiamo però operare dei piccoli “trucchi” che ci permettono di ricondurre il limite assegnato al limite notevole di Nepero.
Per poter applicare il limite notevole basterebbe che l’esponente fosse, non la successione n, ma bensì la successione n+3, possiamo allora scrivere, senza modificare il testo, in questo modo:

Calcolando separatamente il limite della base e il limite dell’esponente si ottiene:

Da quanto detto sopra segue che:

ESEMPIO:

procedendo come illustrato nell’esercizio precedente si ottiene:

infine:

Successione geometrica (di ragione q)

(1842)