Serie numeriche

ESERCIZIO 1

Studiare il carattere della seguente serie numerica:

SOLUZIONE

Osserviamo che

Dunque, per il teorema sulla convergenza assoluta e per il criterio del confronto, se la serie

converge, allora convergerà anche quella in esame. Applichiamo il criterio del rapporto alla serie (1). Si ha

Dunque la serie (1) converge. Per quanto detto sopra anche la serie in esame converge.

Il criterio del rapporto

Se vale definitivamente:

ESERCIZIO 2

Studiare il carattere della seguente serie numerica:

SOLUZIONE

Applichiamo il criterio del confronto asintotico. Per n → +∞, si ha che (1/√n ) → 0 Allora, usando lo sviluppo di McLaurin di arctan(x), si vede che

Dunque la serie in esame ha lo stesso carattere di

Quest’ultima serie converge per il criterio del confronto con gli integrali impropri. Infatti,

Ne segue che la serie in esame è convergente.

ESERCIZIO 3

Studiare il carattere della seguente serie numerica:

SOLUZIONE

Osserviamo che

In particolare esso non è zero. Quindi la serie non può convergere. Dunque, essendo una serie a termini non negativi, necessariamente diverge.

ESERCIZIO 4

Studiare il carattere della seguente serie numerica e calcolarne la somma:

SOLUZIONE

Osserviamo che

Posto

si ha:

Dunque la serie converge perchè lim _N→∞ S _N =1/2. Inoltre S =1/2.

Serie di potenze

ESERCIZIO 5

Determinare l’insieme D di convergenza della seguente serie e trovarne la somma:

SOLUZIONE

Poniamo t =−x²/3, la serie diventa:

Il suo raggio di convergenza è 1, inoltre quest’ultima serie converge per t = −1 e diverge per t = 1. In definitiva l’ultima serie converge per t ∈ [−1, 1). Quindi la serie assegnata converge per quei valori di x tali che −x²/3 ∈ [−1, 1) cioè 0 ≤ x ≤√3.

Per determinare la somma della serie poniamo, per t ∈ [−1, 1),

e consideriamo

Si ha, per t ∈ (−1, 1),

dunque

e f(0) = 1. Infine,

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