Aldo dispone i numeri da 1 a 16 su due file:
quindi chiede a Beppe di pensare un numero e di indicargli la fila in cui si trova.
Beppe, dopo aver pensato un numero tra questi, gli dice che sta nella fila in basso.
Allora Aldo, partendo da sinistra, prende un numero dalla fila in basso e uno da quella in alto, in modo alterno, disponendoli su due nuove file:
Aldo chiede di nuovo in quale fila si trovi il numero pensato e Beppe risponde sempre in quella in basso.
Aldo ripete la stessa procedura:
La terza volta che Aldo pone la domanda, Beppe risponde che ora sta nella fila in alto; allora Aldo prende ancora i numeri in modo alterno, iniziando questa volta dalla fila in alto:
All’ultima richiesta di Aldo, Beppe risponde che adesso si trova nella fila in basso.
Qual è il numero pensato da Beppe?
Soluzione
Beppe ha pensato il numero 14, che si trova al primo posto nella fila indicata con la sua ultima risposta. Il procedimento è spiegato (invero un po’ confusamente) nel Capitolo LXIX della raccolta di “giochi” De viribus quantitatis, scritta dal grande matematico rinascimentale Luca Pacioli, negli anni intorno al 1500.
Seguiamo gli spostamenti dei numeri nell’esempio. Dopo il primo passo, i numeri che erano in seconda fila (quella indicata da Beppe) si sono distribuiti nelle colonne di posto dispari; le altre quattro colonne (quindi la metà dei numeri) sono da scartare. Dopo il secondo passo, i numeri ancora “buoni” (dal 13 al 16) finiscono nella prima e nella quarta colonna (e un’altra metà di numeri è eliminata). All’ultimo passo rimane soltanto la prima colonna.
È facile generalizzare al caso di 2n numeri, con n successive indicazioni di riga.
Per confondere un po’ le idee al nostro interlocutore, ché altrimenti capisce subito il “trucco”, suggeriamo di usare 16 carte da gioco qualsiasi (tutte diverse) e − stando attenti a non sbagliare − alternare qualche variante, ad esempio quella che ora spiegheremo (continuando a usare i numeri da 1 a 16, per semplicità).
La procedura da seguire può essere così descritta: ricevuta l’indicazione di una delle due file, Aldo prende dapprima tutta l’altra fila, un numero dopo l’altro partendo da destra, e dispone i numeri sulle due nuove file, alternandoli uno in alto e uno in basso; poi compie la stessa operazione con la fila indicata da Beppe, quella che contiene il numero da lui pensato.
Riprendendo la disposizione originaria, supponiamo che Beppe pensi il numero 12, e quindi indichi la fila in basso. Allora Aldo disporrà i numeri nel modo seguente:
Ora Beppe indica la fila in alto e quindi, dopo che Aldo ha ripetuto la procedura, la situazione è questa:
Beppe indica la fila in basso e l’ultima manovra di Aldo porta a:
Infine, Beppe indica la fila in basso: il numero da lui pensato è quello che vi occupa il sesto posto. Se ora avesse indicato la fila in alto, il numero pensato sarebbe stato il 16.
La regola del sesto posto nell’ultima fila indicata vale però soltanto con 16 numeri o carte che siano.
Generalizzando, dopo il primo passo il numero pensato sta nella seconda metà delle colonne, dopo il secondo passo sta nella prima metà della seconda metà, dopo il terzo passo sta nella seconda metà della prima metà della seconda metà, e così via.
Giocando con 2n numeri, dopo n successive indicazioni di riga, il posto occupato dal numero pensato sarà quello di ordine p(n), essendo:
Questa successione è calcolata partendo da 1 e poi, in modo alterno, moltiplicando per 2 oppure moltiplicando per 2 e sottraendo 1: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 43 …
Procedendo sulla stessa falsariga, si possono trovare altre varianti!
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