Modelli di oligopolio

Esistono tre modelli principali di oligopolio
– Cournot
– Bertrand
– Stackelberg

Si distinguono in base
– alla variabile strategica scelta dalle imprese
– alla tempistica con cui si svolge il gioco

Il modello di Cournot

Modello presentato nel 1838, applicato al caso di vendita di acqua minerale.
L’ipotesi fondamentale è che ogni duopolista consideri costante la quantità prodotta dal concorrente

Due imprese producono uno stesso bene
• La domanda per questo prodotto è:

dove q₁ è l’output dell’impresa 1 e q₂ quello della 2.

•  I costi marginali sono uguali e costanti per entrambe = c.

•  Per ottenere la curva di domanda di una delle due imprese trattiamo l’output dell’altra come una costante.

•  Così anche per l’altra impresa, la domanda è perciò:

La scelta ottima per l’output dell’impresa 2 dipende dall’output dell’impresa 1
I ricavi marginali per l’impresa 2 sono:

Funzione di reazione

Questa è la funzione di reazione dell’impresa 2.
Ci dice la scelta di quantità dell’impresa 2 che massimizza i profitti data la scelta di output dell’impresa 1.
C’è una funzione di reazione anche per l’impresa 1:
Per lo stesso motivo, si può scrivere:

Nella teoria dei giochi,  la funzione  di reazione identifica la migliore strategia  di un giocatore, valutata in termini del suo guadagno finale, in risposta a ogni possibile piano seguito dall’altro giocatore. Per questo motivo, essa è anche detta funzione di risposta ottima.

Equilibrio di Cournot-Nash

L’equilibrio di Cournot-Nash richiede che entrambe le imprese siano sulle proprie funzioni di reazione:

Il duopolio di Cournot

Esercizio 1

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:
– funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, con Q = Q₁ + Q₂;
– funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 20 Q_i , con i = 1, 2.
Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Soluzione

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese.

Cominciamo dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR₁ = P x Q₁ = (100 – 2 Q₁ – 2 Q₂) x Q₁ = 100 Q₁ – 2 Q₁²– 2 Q₂ Q₁

Di conseguenza, il ricavo marginale ( la derivata del ricavo totale, rispetto alla quantità….) dell’impresa 1 è:

MR₁ = 100 – 4 Q₁ – 2 Q₂ .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 20.

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

100 – 4 Q₁ – 2 Q_{2 =} 20

e cioè:

 Q1* = 80/4 – 2/4 Q2 = 20 – 0,5 Q2                  (1)

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

 Q₂* = 20 – 0,5 Q₁                                                 (2)

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q₁* = 20 – 0,5 Q₂ = 20 – 0,5 (20 – 0,5 Q₁) = 20 – 10 + 0,25 Q₁

da cui si ottiene:
Q₁* = 10 / 0,75.

Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q₁* + Q₂* = 20 / 0,75 = 26,67.

E quindi il prezzo sarà:
P* = 100 – 2 x 26, 67 = 100 – 53,33 = 46,67.

Esercizio 2

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:
– funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q, con Q = Q₁ + Q₂;
– funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 30 Q_i , con i = 1, 2.
Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Soluzione

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese.

Cominciamo dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR₁ = P x Q₁ = (60 – 3 Q₁ – 3 Q₂) xQ₁ = 60 Q₁ – 3 Q₁²– 3 Q₂ Q₁ .

Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:

MR₁ = 60 – 6 Q₁ – 3 Q₂ .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 30

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

60 – 6 Q₁ – 3 Q = 30
e cioè:
                               Q₁* = 30/6 – 3/6 Q₂ = 5 – 0,5 Q₂                          (1) 

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

                                                     Q₂* = 5 – 0,5 Q₁ .                                          (2)    

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q₁* = 5 – 0,5 Q₂ = 5 – 0,5 (5 – 0,5 Q₁) = 5 – 2,5 + 0,25 Q₁

da cui si ottiene:
Q₁* = 2,5 / 0,75.
Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q₁* + Q₂* = 5 / 0,75 = 6,67.

E quindi il prezzo sarà:

P* = 60 – 3 x 6, 67 = 60 – 20,01 = 39,99.

(2222)